ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Решить уравнение

$1 - \frac{x}{1} + \frac {x (x-1)}{1 \cdot 2} - \frac {x(x-1)(x-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \cdots + (-1)^n \frac {x(x-1)(x-2) \cdots (x-n)}{n!} = 0$.


Решение:


Обозначим правую часть рассматриваемого уравнения $n$-й степени через $f_n(x)$. Легко видеть, что уравнение $f_1 (x) = 0$, т. е. $1 - х = 0$, имеет корень $x_1 = 1$; уравнение $f_2 (x) = 0$, т. е. $x(x-1) - 2x + 2 = 0$, или $x^2 - 3x + 2 = 0$, имеет корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Докажем теперь, что уравнение $f_n (x) = 0$ имеет следующие корни:

$x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3, \cdots, x_{n-1} = n - 1, x_n = n$ (*)

Воспользуемся методом математической индукции, т. е. предположим, что наше утверждение уже доказано для уравнения $f_n (x) = 0$, и проверим, что в таком случае уравнение $f_{n+1} (x) = 0$ имеет корни (*) и дополнительный корень $x_{n+1} = n + 1$. Прежде всего, ясно, что поскольку

$f_{n+1} (x) = f_n (x) + (-1)^{n+1} \frac {x(x-1)(x-2) \cdots (x-n+1)(x-n)}{(n+1)!}$,

то если уравнение $f_n(x) = 0$ имеет корни (*), то те же корни имеет и уравнение $f_n (x) = 0$. Наконец, равенство $f_{n+1} (n+1) = 0$, т. е.

$1 - \frac{n+1}{1} + \frac {(n+1)n}{1 \cdot 2} - \frac {(n+1)n(n-1)}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \cdots + (-1)^{n+1} \frac {(n+1)n(n-1) \cdots 2 \cdot 1}{(n+1)!} = 0$

можно, очевидно, записать так:

$1 - C_{n+1}^1 + C_{n+1}^2 - C_{n+1}^3 + \cdots + (-1)^{n+1} C_{n+1}^{n+1} = 0$, (**)

где $C_{n+1}^k = \frac{(n + 1)n(n-1) \cdots (n - k +2)}{k!} $ - так называемые биномиальные коэффициенты; но по формуле бинома Ньютона правая часть (**) равна $(1-1)^{n+1} = 0$, откуда и следует, что число $x_{n+1} = n+1$ также является корнем уравнение $f_{n+1} (x) = 0$.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 2, \cdots, x_n = n$.