ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Решить уравнение

$|x +1| - |x| + 3 |x - 1| - 2 |x-2| = x+2$.


Решение:


Для того чтобы решить это уравнение, мы будем искать сначала его корни, лежащие на отрезке от 2 до $\infty$, затем на отрезках от 1 до 2, от 0 до 1, от - 1 до 0 и от - $\infty$ до - 1.

1°. Пусть $x \geq 2$. Тогда $x+1 > 0, x>0, x-1> 0, x-2 \geq 0$; поэтому $|x + 1| = x + 1$, $|x| = x$, $|x-1| = x-1$; $|x-2| = x-2$, и мы получаем уравнение

$x+1 - x + 3 (x-1) - 2(x-2) = x+2$,

которое удовлетворяется тождественно.

Таким образом, любое число, большее либо равное 2, является корнем нашего уравнения.

2°. Пусть $1 \leq x < 2$. Тогда $x+1 > 0$, $x>0$, $x - 1 \geq 0$ и $x-2 < 0$ и, значит, $|x+1| = x+1$, $|x| = x$, $|x-1| = x-1$, $|x-2| = - (x-2)$.

Таким образом, мы получаем уравнение

$x+1 - x + 3 (x_1) + 2 (x-2) = x+2$.

Отсюда $4x = 8, x = 2$, т. е. лежит вне отрезка $1 \leq x < 2$. Следовательно, наше уравнение не имеет корней, больших либо равных 1, но меньших 2.

3°. Пусть, далее $0 \leq x < 1$. Тогда имеем:

$|x+1| = x+1, |x| = x$,
$|x-1| = -(x-1), |x-2| = - (x-2)$.

Значит,

$x+1 - x - 3 (x-1) + 2(x-2) = x+2, x = -1$,

т. е. лежит вне отрезка $0 \leq x < 1$.

Получаем, что корней, больших либо равных 0, но меньших 1, нет.

4°. Пусть теперь - $-1 \leq x < 0$. Тогда $|x+1| = x+1$,

$|x| = - x, |x-1| = - (x-1)$ и $|x-2| = - (x-2)$;
$x+1+x - 3(x-1) + 2(x-2) = x+2$,

что невозможно, т. е. на этом участке также нет корней.

5°. Наконец, пусть $x < - 1$. При этом $|x+1| = - (x+1)$, $|x| = - x, |x-1| = - (x-1)$ и $|x-2| = - (x-2)$;
$- (x+1) + x - 3(x-1) + 2(x-2) = x+2$, $x = - 2$.

Получаем еще один корень $x = - 2$.

Окончательно уравнению удовлетворяют: число - 2 и любое число, большее либо равное 2.
Ответ: Корни уравнения: число - 2 и любое число не меньшее 2.