ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Найти действительные корни уравнения

$\sqrt {x + 3 - 4 \sqrt {x - 1}} + \sqrt {x + 8 - 6 \sqrt {x - 1}} = 1$

(все квадратные корни считаются положительными).


Решение:


Имеем:

$x + 3 - 4 \sqrt {x - 1} = x - 1 - 4 \sqrt {x-1} + 4 = (\sqrt {x-1})^2 - 4 \sqrt {x-1} + 4 = (\sqrt {x-1} - 2)^2$

и аналогично

$x + 8 - 6 \sqrt {x-1} = x - 1 - 6 \sqrt {x-1} + 9 = (\sqrt {x-1} - 3)^2$.

Таким образом, наше уравнение можно записать в виде

$\sqrt {(\sqrt {x-1} - 2)^2} + \sqrt {(\sqrt {x-1} - 3)^2} = 1$

или, так как мы считаем все корни положительными,

$|\sqrt {x-1} - 2| + |\sqrt {x - 1} - 3| = 1$,

где $|y|$ обозначает абсолютную величину числа $у$. Рассмотрим теперь несколько случаев.

1°. Если $\sqrt {x-1} - 2 \geq 0, \sqrt {x-1} - 3 \geq 0$, т. е. если $\sqrt {x-1} \geq 3$, $x - 1 \geq 9$, $x \geq 10$, то $|\sqrt {x-1} - 2| = \sqrt {x-1} - 2, |\sqrt {x-1} - 3| = \sqrt {x-1} - 3$ и уравнение принимает вид

$\sqrt {x-1} - 2 + \sqrt {x-1} - 3 = 1$,

откуда

$2 \sqrt {x-1} = 6, x - 1 = 9, x = 10$.

2°. Если $\sqrt {x-1} - 2 \geq 0$, $\sqrt {x-1} - 3 \leq 0$, т.е., если $\sqrt {x-1} \geq 2, x \geq 5$, но $\sqrt {x-1} \leq 3, x \leq 10$, то $|\sqrt {x-1} - 2| = \sqrt {x-1} - 2$, $|\sqrt {x-1} - 3| = - \sqrt {x-1} + 3$ и уравнение превращается в тождество

$\sqrt {x-1} - 2 - \sqrt {x-1} + 3 = 1$.

Таким образом, нашему уравнению удовлетворяют все значения $x$ между $x = 5$ и $x = 10$.

3°. Если $\sqrt {x-1} - 2 \leq 0, \sqrt {x-1} - 3 \leq 0$, т. е. если $\sqrt {x-1} \leq 2, x \leq 5$, то $|\sqrt {x-1} - 2| = - \sqrt {x-1} + 2, |\sqrt {x-1} - 3| = - \sqrt {x-1} + 3$ и уравнение принимает вид

$- \sqrt {x-1} + 2 - \sqrt {x-1} + 3 = 1$,

откуда

$2 \sqrt {x-1} = 4$, $x-1 = 4$ $x = 5$.

4°. Случай $\sqrt {x-1} - 2 \leq 0$, $\sqrt {x-1} - 3 \geq 0$, очевидно, невозможен.

Таким образом, решением этого уравнения служат все значения $х$ между $х = 5$ и $х = 10$, т. е. $5 \leq x \leq 10$.
Ответ: Корни уравнения - все числа, заключенные между 5 и 10.