ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Решить уравнение



(в выражении слева знак дроби повторяется $n$ раз).


Решение:


Будем последовательно упрощать дробь, стоящую слева:

$1 + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}; 1 + \frac{1}{ \frac{x+1}{x} } = 1 + \frac{x}{x+1} = \frac {2x+1}{x+1}$;
$1 + \frac{1}{ \frac{2x+1}{x+1}} = 1 + \frac {x+1}{2x+1} = \frac {3x+2}{2x+1}; \cdots$.

Окончательно мы получим какое-то уравнение вида

$\frac {ax+b}{cx+d} = x$,

где $а, b, с$ и $d$ - неизвестные нам целые числа. Это уравнение равносильно квадратному уравнению $x(cx+d) = ax+b$; отсюда следует, что наше исходное уравнение может иметь не больше двух различных корней (тождеством это уравнение быть не может, так как иначе ему удовлетворяли бы любые значения $х$, a $х = 0$, очевидно, уравнению не удовлетворяет).
Но два корня нашего уравнения нетрудно найти. Действительно, предположим, что $х$ таково, что

$1 + \frac{1}{x} = x$.

В таком случае, последовательно упрощая нашу дробь «с конца» мы будем получать

$1 + \frac{1}{x} = x; 1 + \frac{1}{x} = x; 1 = \frac{1}{x} = x; \cdots$

и окончательно придем к тождеству

$х = х$.

Таким образом, мы видим, что корни уравнения $1 + \frac{1}{x} = x$, или $x^2 - x - 1 = 0$, т. е.

$x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$,

удовлетворяют заданному уравнению. Никаких других корней это уравнение иметь не может.