ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Найти действительные корни уравнения

$\underbrace{\sqrt {x + 2 \sqrt {x + 2 \sqrt {x + \cdots + 2 \sqrt {x + 2 \sqrt {3x}}}}}}_{n \:радикалов} = x$

(все квадратные корни считаются положительными).


Решение:


Для того чтобы при действительном $х$ левая часть уравнения была действительна, необходимо, чтобы все подкоренные выражения были положительны. Обозначая эти положительные подкоренные выражения, начиная с последнего (т. е. с $3x$) и до первого, через $y_1^2, y_2^2, y_3^2, \cdots, y_{n-1}^2, y_n^2,$, будем иметь:

$3x = x + 2x = y_1^2$,
$x + 2y_1 = y_2^2$,
$x + 2y_2 = y_3^2$,
$\cdots$,
$x + 2y_{n-2} = y_{n-1}^2$,
$x + 2y_{n-1} = y_n^2$,

где все числа $y_1^2, y_2^2, \cdots, y_n$ действительны и положительны. Само исходное уравнение в новых обозначениях примет вид

$y_n = x$.

Докажем теперь, что $y_1 = x$. Действительно, предположим, например, что $x > у_1$. В таком случае из сравнения первого и второго из наших равенств будет следовать, что $y_1 = y_2$. Точно так же из сравнения второго и третьего равенств находим, что $y_2 > y_3$, далее, аналогично получаем, что

$y_3 > y_4 > \cdots > y_{n-1} > y_n$.

Таким образом, при $x = y_1$, будем иметь $x = y_n$, что противоречит уравнению. Аналогично доказывается, что и при $x < y_1$, не может быть $y_n = x$ (в этом случае обязательно $x < y_n$).

Так как $y_1^2 = 3x$, то, следовательно, должно быть

$3x = x^2$,

откуда сразу получаем два единственно возможных значения $x$:

$x_1 = 3$, $x_2 = 0$.

Проверка показывает, что оба эти значения удовлетворяют нашему уравнению.