Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2952
2019-05-06 
Найти действительные корни уравнения
$x^2 + 2ax + \frac{1}{16} = -a + \sqrt {a^2 + x - \frac{1}{16}} \left (0 < a < \frac{1}{4} \right )$.
Решение:
Первое решение. Обозначим
$x^2 + 2ax + \frac{1}{16} = y, - a + \sqrt {a^2 + x - \frac{1}{16}} = y_1$.
В таком случае наше уравнение принимает вид
$y = y_1$.
Выразим теперь $х$ через $y_1$. Простое вычисление дает
$x = y_1^2 + 2ay_1 + \frac{1}{16}$.
Таким образом, мы видим, что $х$ выражается через $y_1$ точно таким же образом, как $у$ через $х$. Отсюда следует, что если мы начертим графики функций
$x^2 = y_1^2 + 2ay_1 + \frac{1}{16}$
и
$y_1 = -a + \sqrt {a^2 + x - \frac{1}{16}}$,
то эти графики (параболы) будут симметричны относительно бисеектрисы первого координатного угла (рис.; каждой точке $х = x_0$, $y = y_0$ первого графика отвечает симметричная относительна биссектрисы координатного угла точка $х = y_0$, $y = x_0$ второго графика). Точки пересечения этих двух графиков отвечают таким значениям $х$, что $y = y_1$, т. е. корням нашего уравнения; эти точки обязательно лежат на оси симметрии обеих кривых, т. е. удовлетворяют условию
$y = x = y_1$.
Решая уравнение $у = х$, т. е.
$x^2 + 2ax + \frac{1}{16} = x$,
мы получаем:
$x_{1,2} = \frac{1-2a}{2} \pm \sqrt { \left ( \frac{1-2a}{2} \right )^2 - \frac{1}{16}}$.
Можно убедиться проверкой, что при $0 < a < \frac{1}{4}$ оба эти корня являются действительными и удовлетворяют исходному уравнению.
Второе решение. Эту задачу можно решить и более обычным путем. Избавляясь от радикала в уравнении, получим:
$\left ( x^2 + 2ax + a + \frac{1}{16} \right )^2 = a^2 + x - \frac{1}{16}$,
или после раскрытия скобок и приведения подобных членов
$x^4 + 4ax^3 + \left ( 4a^2 + 2a + \frac{1}{8} \right )x^2 + \left ( 4a^2 + \frac{1}{4} a - 1 \right )x + \frac{a}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16^2} = 0$.
Левую часть получившегося уравнения можно разложить на множители:
$\left [ x^4 + (2a - 1)x^3 + \frac{1}{16}x^2 \right ] + \left [(2a+1)x^3 + (4a^2 - 1) x^2 + \left ( \frac{a}{8} + \frac{1}{16} \right )x \right ] + \left [ \left ( 2a + \frac{17}{16} \right )x^3 + \left ( 4a^2 + \frac{a}{8} - \frac{17}{16} \right )x + \left ( \frac{a}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16^2} \right ) \right ] = \left [ x^2 + (2a-1)x + \frac{1}{16} \right ] \left [ x^2 + (2a+1)x + \left ( 2a + \frac{17}{16} \right ) \right ]$.
Отсюда сразу получаем решения:
$x^2 + (2a-1)x + \frac{1}{16} = 0$,
$x_{1,2} = \frac{1-2a}{2} \pm \sqrt { \left ( \frac{1-2a}{2} \right )^2 - \frac{1}{16} }$;
$x^2 + (2a+1)x + 2a + \frac{17}{16} = 0$,
$x_{3,4} = - \frac{1+2a}{2} \pm \sqrt { \left ( \frac{1+2a}{2} \right )^2 - 2a - \frac{17}{16}}$.
При $0 < a < \frac{1}{4}$ первые два корня являются действительными и удовлетворяют исходному уравнению; последние два корня - комплексные.
Найти действительные корни уравнения
$x^2 + 2ax + \frac{1}{16} = -a + \sqrt {a^2 + x - \frac{1}{16}} \left (0 < a < \frac{1}{4} \right )$.
Решение:
Первое решение. Обозначим
$x^2 + 2ax + \frac{1}{16} = y, - a + \sqrt {a^2 + x - \frac{1}{16}} = y_1$.
В таком случае наше уравнение принимает вид
$y = y_1$.
Выразим теперь $х$ через $y_1$. Простое вычисление дает
$x = y_1^2 + 2ay_1 + \frac{1}{16}$.
Таким образом, мы видим, что $х$ выражается через $y_1$ точно таким же образом, как $у$ через $х$. Отсюда следует, что если мы начертим графики функций
$x^2 = y_1^2 + 2ay_1 + \frac{1}{16}$
и
$y_1 = -a + \sqrt {a^2 + x - \frac{1}{16}}$,
то эти графики (параболы) будут симметричны относительно бисеектрисы первого координатного угла (рис.; каждой точке $х = x_0$, $y = y_0$ первого графика отвечает симметричная относительна биссектрисы координатного угла точка $х = y_0$, $y = x_0$ второго графика). Точки пересечения этих двух графиков отвечают таким значениям $х$, что $y = y_1$, т. е. корням нашего уравнения; эти точки обязательно лежат на оси симметрии обеих кривых, т. е. удовлетворяют условию
$y = x = y_1$.
Решая уравнение $у = х$, т. е.
$x^2 + 2ax + \frac{1}{16} = x$,
мы получаем:
$x_{1,2} = \frac{1-2a}{2} \pm \sqrt { \left ( \frac{1-2a}{2} \right )^2 - \frac{1}{16}}$.
Можно убедиться проверкой, что при $0 < a < \frac{1}{4}$ оба эти корня являются действительными и удовлетворяют исходному уравнению.
Второе решение. Эту задачу можно решить и более обычным путем. Избавляясь от радикала в уравнении, получим:
$\left ( x^2 + 2ax + a + \frac{1}{16} \right )^2 = a^2 + x - \frac{1}{16}$,
или после раскрытия скобок и приведения подобных членов
$x^4 + 4ax^3 + \left ( 4a^2 + 2a + \frac{1}{8} \right )x^2 + \left ( 4a^2 + \frac{1}{4} a - 1 \right )x + \frac{a}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16^2} = 0$.
Левую часть получившегося уравнения можно разложить на множители:
$\left [ x^4 + (2a - 1)x^3 + \frac{1}{16}x^2 \right ] + \left [(2a+1)x^3 + (4a^2 - 1) x^2 + \left ( \frac{a}{8} + \frac{1}{16} \right )x \right ] + \left [ \left ( 2a + \frac{17}{16} \right )x^3 + \left ( 4a^2 + \frac{a}{8} - \frac{17}{16} \right )x + \left ( \frac{a}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16^2} \right ) \right ] = \left [ x^2 + (2a-1)x + \frac{1}{16} \right ] \left [ x^2 + (2a+1)x + \left ( 2a + \frac{17}{16} \right ) \right ]$.
Отсюда сразу получаем решения:
$x^2 + (2a-1)x + \frac{1}{16} = 0$,
$x_{1,2} = \frac{1-2a}{2} \pm \sqrt { \left ( \frac{1-2a}{2} \right )^2 - \frac{1}{16} }$;
$x^2 + (2a+1)x + 2a + \frac{17}{16} = 0$,
$x_{3,4} = - \frac{1+2a}{2} \pm \sqrt { \left ( \frac{1+2a}{2} \right )^2 - 2a - \frac{17}{16}}$.
При $0 < a < \frac{1}{4}$ первые два корня являются действительными и удовлетворяют исходному уравнению; последние два корня - комплексные.
