ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Решить уравнение

$\sqrt {a - \sqrt {a + x}} = x$.


Решение:


Первое решение. Обозначим $\sqrt {a+x}$ через $у$ получим систему из двух уравнений.

$\sqrt {a+x} = y$, $\sqrt {a- y} = x$.

Возведем эти уравнения в квадрат:

$a + x = u^2$, $\sqrt {a-y} = x$.

Вычтем из первого второе:

$x+y = y^2 - x^2$,

или

$x^2 - y^2 + x + y = (x+y)(x-y+1) = 0$.

Отсюда имеются две возможности:

1) $x+y = 0$; $y = - x$ и $x^2 - x - a = 0$, откуда

$x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{a + \frac{1}{4}}$;

2) $x - y + 1 = 0$; тогда $y = x+1$ и $x^2 + x + 1 - a = 0$, откуда

$x_{3,4} = - \frac{1}{2} \pm \sqrt {a - \frac{3}{4}}$.

Можно убедиться проверкой, что при соответствующем выборе знака у каждого из радикалов, встречающихся в исходном уравнении, корни $x_1, x_2, x_3$ и $x_4$ удовлетворяют этому уравнению.

Второе решение. Освободимся от радикалов в нашем уравнении:

$a - \sqrt {a+x} = x^2$,
$(a - x^2)^2 = a + x$,
$x^4 - 2ax^2 - x + a^2 - a = 0$.

Таким образом, мы приходим к уравнению четвертой степени. Однако это последнее уравнение является квадратным по отношению к $а$. Решим это уравнение относительно $а$, т. е. примем на время, что $х$ нам известно, а наоборот, $а$ требуется определить:

$a^2 - (2x^2 + 1)a + x^4 - x = 0$,
$a = \frac {2x^2 + 1 \pm \sqrt {4x^2 + 4x^2 + 1 - 4x^4 + 4x}}{2} = \frac {2x^2 = 1 \pm \sqrt {4x^2 + 4x + 1}}{2} = \frac {2x^2 + 1 \pm (2x + 1)}{2}$,
$a_1 = x^2 + x + 1, a_2 = x^2 - x$.

Таким образом, мы видим, что уравнение

$a^2 - (2x^2 + 1)a + x^4 - x = 0$

имеет корни

$a_1 = x^2 + x + 1, a_2 = x^2 - x$,

откуда согласно общим свойствам квадратных уравнений

$a^2 - (2x^2 + 1) a + x^4 - x = (a - a_1)(a - a_2) = (a - x^2 - x - 1)(a - x^2 + x)$.

Таким образом, наше уравнение принимает вид

$(x^2 - x - a)(x^2 + x - a + 1) = 0$

и без труда решается:

$x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt { \frac{1}{4} + a} = \frac{1}{2} \pm \sqrt {a + \frac{1}{4}}$,
$x_{3,4} = - \frac{1}{2} \pm \sqrt { \frac{1}{4} + a - 1} = - \frac{1}{2} \pm \sqrt {a - \frac{3}{4}}$.