Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2950
2019-05-06 
а) Разложить на множители выражение
$а^3 + b^3 + c^3 - 3abc$.
б) Воспользовавшись результатом задачи а), найти общую формулу для решения кубического уравнения
$x^3 + px + q = 0$.
Решение:
а) Первое решение. Имеем:
$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc = a^3 + 3abc (a+b) + b^3 = c63 - 3abc - 3ab (a+b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + c^3 - 3ab (c+a+b) = (a+b)^3 + c^3 - 3ab(a+b+c) = [(a+b) + c][(a+b)^2 - (a+b)c + c^2] - 3ab (a+b+c) = (a+b+c) [(a+b)^2 - (a+b)c + c^2 - 3ab] = (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab) = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)$.
Второе решение. Заменим в обозначениях задачи букву $а$ на $х$ и положим $x+b+c = 0$; преобразовав $(x+b+c)^3$, получим, что $x^3+b^3+c^3 - 3xbc = 0$, если $x+b+c = 0$. Поэтому уравнение $x^3-3bcx+b^3+c^3 = 0$ имеет корень $x = -b - c$, и многочлен $x^3 - 3bcx + b^3 + c^3$ делится на $x - (-b - c) = x + b + c$, а значит $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ делится на $a+b+c$. Выполнив непосредственно деление (для чего удобно рассматривать многочлены $a^3 - 3abc + b^3 + c^3$ и $a+b+c$ с расположенными по степеням буквы $а$), мы придем к прежнему результату:
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab -ac - bc)$.
б) Подберем такие два числа $а$ и $b$, чтобы иметь равенство
$x^3 + px + q = x^3 + a^3 + b^3 = 3abx$.
Для этого достаточно, чтобы было $a^3 + b^3 = q, ab = - \frac{p}{3}$; из этой системы двух уравнений с двумя неизвестными нетрудно определить $а$ и $b$. Имеем $a^3 + b^3 = q$, $a^3b^3 = - \frac{p^3}{27}$; отсюда следует, что $а^3$ и $b^3$ - корни квадратного $z^2 - qz - \frac{p^3}{27} = 0$ и, следовательно,
$a = \sqrt [3]{ \frac{q}{2} + \sqrt { \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$, $b = \sqrt [3]{ \frac{q}{2} + \sqrt { \frac{q^2}{2} + \frac{p^3}{27}}}$. (*)
Теперь, в силу результата задачи а), имеем
$x^3 + px + q = x^3 + a^3 + b^3 - 3abx = (a+b+x)(a^2 + b^2 + x^2 - ab - ax - bx)$.
Следовательно, решение нашего кубического уравнения сводится к решению уравнения первой степени:
$a+b+x = 0$,
откуда имеем:
$x_1 = -a - b$,
или
$x_1 = - \sqrt [3]{ \frac{q}{2} + \sqrt { \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} - \sqrt [3]{ \frac{q}{2} - \sqrt { \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$
и квадратного уравнения
$x^2 - (a+b)x + a^2 + b^2 - ab = 0$;
отсюда следует
$x_2 = \frac{a+b}{2} + \frac {(a-b) \sqrt{3}}{2}i, x_3 = \frac{a+b}{2} - \frac {(a-b) \sqrt{3}}{2}i$,
где $a$ и $b$ определяются формулами (*).
а) Разложить на множители выражение
$а^3 + b^3 + c^3 - 3abc$.
б) Воспользовавшись результатом задачи а), найти общую формулу для решения кубического уравнения
$x^3 + px + q = 0$.
Решение:
а) Первое решение. Имеем:
$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc = a^3 + 3abc (a+b) + b^3 = c63 - 3abc - 3ab (a+b) = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 + c^3 - 3ab (c+a+b) = (a+b)^3 + c^3 - 3ab(a+b+c) = [(a+b) + c][(a+b)^2 - (a+b)c + c^2] - 3ab (a+b+c) = (a+b+c) [(a+b)^2 - (a+b)c + c^2 - 3ab] = (a+b+c)(a^2 + 2ab + b^2 - ac - bc + c^2 - 3ab) = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)$.
Второе решение. Заменим в обозначениях задачи букву $а$ на $х$ и положим $x+b+c = 0$; преобразовав $(x+b+c)^3$, получим, что $x^3+b^3+c^3 - 3xbc = 0$, если $x+b+c = 0$. Поэтому уравнение $x^3-3bcx+b^3+c^3 = 0$ имеет корень $x = -b - c$, и многочлен $x^3 - 3bcx + b^3 + c^3$ делится на $x - (-b - c) = x + b + c$, а значит $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ делится на $a+b+c$. Выполнив непосредственно деление (для чего удобно рассматривать многочлены $a^3 - 3abc + b^3 + c^3$ и $a+b+c$ с расположенными по степеням буквы $а$), мы придем к прежнему результату:
$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c) (a^2 + b^2 + c^2 - ab -ac - bc)$.
б) Подберем такие два числа $а$ и $b$, чтобы иметь равенство
$x^3 + px + q = x^3 + a^3 + b^3 = 3abx$.
Для этого достаточно, чтобы было $a^3 + b^3 = q, ab = - \frac{p}{3}$; из этой системы двух уравнений с двумя неизвестными нетрудно определить $а$ и $b$. Имеем $a^3 + b^3 = q$, $a^3b^3 = - \frac{p^3}{27}$; отсюда следует, что $а^3$ и $b^3$ - корни квадратного $z^2 - qz - \frac{p^3}{27} = 0$ и, следовательно,
$a = \sqrt [3]{ \frac{q}{2} + \sqrt { \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$, $b = \sqrt [3]{ \frac{q}{2} + \sqrt { \frac{q^2}{2} + \frac{p^3}{27}}}$. (*)
Теперь, в силу результата задачи а), имеем
$x^3 + px + q = x^3 + a^3 + b^3 - 3abx = (a+b+x)(a^2 + b^2 + x^2 - ab - ax - bx)$.
Следовательно, решение нашего кубического уравнения сводится к решению уравнения первой степени:
$a+b+x = 0$,
откуда имеем:
$x_1 = -a - b$,
или
$x_1 = - \sqrt [3]{ \frac{q}{2} + \sqrt { \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} - \sqrt [3]{ \frac{q}{2} - \sqrt { \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$
и квадратного уравнения
$x^2 - (a+b)x + a^2 + b^2 - ab = 0$;
отсюда следует
$x_2 = \frac{a+b}{2} + \frac {(a-b) \sqrt{3}}{2}i, x_3 = \frac{a+b}{2} - \frac {(a-b) \sqrt{3}}{2}i$,
где $a$ и $b$ определяются формулами (*).
