Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 295
2014-06-07 
Для произвольных $n \geq 3$ точек $A_{1}, A_{2}, \cdots A_{n}$ на плоскости, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, через $\alpha$ обозначен наименьший из углов $\angle A_{i}A_{j}A_{k}$, образованных тройками $A_{i}, A_{j}, A_{k}$ различных точек. При каждом значении $n$ найти наибольшее значение $\alpha$. Определить, при каких расположениях точек это значение достигается.
Решение:
Докажем, что наибольшее значение $\alpha$ равно $180^{\circ}/n$. Действительно, пусть некоторому расположению точек на плоскости соответствует значение $\alpha$. Рассмотрим такую прямую, скажем $A^{\prime}_{1}A_{2}^{\prime}$, относительно которой все точки расположены в одной полуплоскости и выберем точку $A_{2}^{\prime}$, для которой угол $\angle A_{1}^{\prime} A_{2}^{\prime} A_{3}^{\prime}$ максимален (рис.). Тогда все остальные точки лежат внутри этого угла и
$\angle A_{1}^{\prime} A_{2}^{\prime} A_{3}^{\prime} \geq \alpha (n - 2)$,
так как каждый из $n - 2$ углов между соседними лучами $A_{2}^{\prime}A_{i} (A_{i} \neq A_{2}^{\prime})$ не меньше $\alpha$. Далее, выберем точку $A_{1}^{\prime}$, для которой угол $\angle A_{2}^{\prime} A_{3}^{\prime} A_{4}^{\prime}$ максимален. Тогда все точки
$A_{i} \in \{ A_{2}^{\prime}; A_{3}^{\prime}; A_{4}^{\prime} \}$
лежат внутри этого угла и
$\angle A_{2}^{\prime} A_{3}^{\prime} A_{4}^{\prime} \geq \alpha (n - 2)$.
Если $A_{4}^{\prime} \neq A_{1}^{\prime}$ и $ A_{4}^{\prime} \neq A_{2}^{\prime}$, то выберем точку $A_{5}^{\prime}$ и т.д. Так как число точек равно n, то одна из точек в последовательности $A_{1}^{\prime}, A_{2}^{\prime}, A_{3}^{\prime}, \cdots$ обязательно первый раз повторится. Пусть это произошло после выбора точки $A_{k}^{\prime}$, т. е. угол $\angle A_{k-1}^{\prime}A_{k}^{\prime}A_{j}$ максимален для некоторой точки
$A_{j} = A_{i}^{\prime} \in \{ A_{1}^{\prime}; \cdots ; A_{k-2}^{\prime}\}$.
Тогда, если $i \neq 1$, то точка $A_{1}^{\prime}$ лежит внутри угла $\angle A_{k-1}^{\prime}A_{k}^{\prime}A_{i}^{\prime}$, а значит, и внутри выпуклого многоугольника $A_{i}^{\prime}A_{i+1}^{\prime} \cdots A_{k-1}^{\prime}A_{k}^{\prime}$, что противоречит ее выбору. Поэтому $i = 1$ и выпуклый k-угольник $A_{1}^{\prime}A_{2}^{\prime} \cdots A_{k}^{\prime}$ имеет сумму углов
$180^{\circ}(k - 2) \geq k \cdot \alpha (n - 2)$,
откуда
$\alpha \leq \frac{180^{\circ} (k - 2)}{(n - 2)k} = \frac{180^{\circ}}{n - 2} \left ( 1 - \frac{2}{k} \right ) \leq \frac{180^{\circ}}{n - 2} \left ( 1 - \frac{2}{n} \right ) = \frac{180^{\circ}}{n}$.
При этом равенство $\alpha = 180^{\circ}/n$ возможно лишь в случае, если $k = n$,
$\angle A_{1}^{\prime}A_{2}^{\prime}A_{2}^{\prime} = \angle A_{2}^{\prime}A_{3}^{\prime}A_{4}^{\prime} = \cdots = \angle A_{k}^{\prime}A_{1}^{\prime}A_{2}^{\prime} = \alpha (n - 2)$,
и все диагонали, исходящие из любого угла n-угольника $A_{1}^{\prime} \cdots A_{n}^{\prime}$, делят его на равные углы $\alpha$. Такой n-угольник может быть только правильным, поскольку для любого значения $l = 1, \cdots, n$ имеем
$\angle A_{l}^{\prime}A_{l+2}^{\prime}A_{l+1}^{\prime} = \angle A_{l+2}^{\prime}A_{l}^{\prime}A_{l+1}^{\prime}$, т.е. $A_{l}^{\prime}A_{l+1}^{\prime} = A_{l+1}^{\prime}A_{l+2}^{\prime}$
(считаем $A_{n+1}^{\prime} = A_{1}^{\prime}, A_{n+2}^{\prime} = A_{2}^{\prime}$) (рис.). следовательно, n-угольник должен иметь не только равные углы, но и равные стороны. Наконец, вершины правильного n-угольника действительно удовлетворяют условию $\alpha = 180^{\circ}/n$. Это становится ясным, если описать около n-угольника окружность и заметить, что все углы между соседними диагоналями, исходящими из любой вершины, опираются на дуги $360^{\circ}/n$, а значит, равны $180^{\circ}/n$..
Для произвольных $n \geq 3$ точек $A_{1}, A_{2}, \cdots A_{n}$ на плоскости, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, через $\alpha$ обозначен наименьший из углов $\angle A_{i}A_{j}A_{k}$, образованных тройками $A_{i}, A_{j}, A_{k}$ различных точек. При каждом значении $n$ найти наибольшее значение $\alpha$. Определить, при каких расположениях точек это значение достигается.
Решение:
Докажем, что наибольшее значение $\alpha$ равно $180^{\circ}/n$. Действительно, пусть некоторому расположению точек на плоскости соответствует значение $\alpha$. Рассмотрим такую прямую, скажем $A^{\prime}_{1}A_{2}^{\prime}$, относительно которой все точки расположены в одной полуплоскости и выберем точку $A_{2}^{\prime}$, для которой угол $\angle A_{1}^{\prime} A_{2}^{\prime} A_{3}^{\prime}$ максимален (рис.). Тогда все остальные точки лежат внутри этого угла и
$\angle A_{1}^{\prime} A_{2}^{\prime} A_{3}^{\prime} \geq \alpha (n - 2)$,
так как каждый из $n - 2$ углов между соседними лучами $A_{2}^{\prime}A_{i} (A_{i} \neq A_{2}^{\prime})$ не меньше $\alpha$. Далее, выберем точку $A_{1}^{\prime}$, для которой угол $\angle A_{2}^{\prime} A_{3}^{\prime} A_{4}^{\prime}$ максимален. Тогда все точки
$A_{i} \in \{ A_{2}^{\prime}; A_{3}^{\prime}; A_{4}^{\prime} \}$
лежат внутри этого угла и
$\angle A_{2}^{\prime} A_{3}^{\prime} A_{4}^{\prime} \geq \alpha (n - 2)$.
Если $A_{4}^{\prime} \neq A_{1}^{\prime}$ и $ A_{4}^{\prime} \neq A_{2}^{\prime}$, то выберем точку $A_{5}^{\prime}$ и т.д. Так как число точек равно n, то одна из точек в последовательности $A_{1}^{\prime}, A_{2}^{\prime}, A_{3}^{\prime}, \cdots$ обязательно первый раз повторится. Пусть это произошло после выбора точки $A_{k}^{\prime}$, т. е. угол $\angle A_{k-1}^{\prime}A_{k}^{\prime}A_{j}$ максимален для некоторой точки
$A_{j} = A_{i}^{\prime} \in \{ A_{1}^{\prime}; \cdots ; A_{k-2}^{\prime}\}$.
Тогда, если $i \neq 1$, то точка $A_{1}^{\prime}$ лежит внутри угла $\angle A_{k-1}^{\prime}A_{k}^{\prime}A_{i}^{\prime}$, а значит, и внутри выпуклого многоугольника $A_{i}^{\prime}A_{i+1}^{\prime} \cdots A_{k-1}^{\prime}A_{k}^{\prime}$, что противоречит ее выбору. Поэтому $i = 1$ и выпуклый k-угольник $A_{1}^{\prime}A_{2}^{\prime} \cdots A_{k}^{\prime}$ имеет сумму углов
$180^{\circ}(k - 2) \geq k \cdot \alpha (n - 2)$,
откуда
$\alpha \leq \frac{180^{\circ} (k - 2)}{(n - 2)k} = \frac{180^{\circ}}{n - 2} \left ( 1 - \frac{2}{k} \right ) \leq \frac{180^{\circ}}{n - 2} \left ( 1 - \frac{2}{n} \right ) = \frac{180^{\circ}}{n}$.
При этом равенство $\alpha = 180^{\circ}/n$ возможно лишь в случае, если $k = n$,
$\angle A_{1}^{\prime}A_{2}^{\prime}A_{2}^{\prime} = \angle A_{2}^{\prime}A_{3}^{\prime}A_{4}^{\prime} = \cdots = \angle A_{k}^{\prime}A_{1}^{\prime}A_{2}^{\prime} = \alpha (n - 2)$,
и все диагонали, исходящие из любого угла n-угольника $A_{1}^{\prime} \cdots A_{n}^{\prime}$, делят его на равные углы $\alpha$. Такой n-угольник может быть только правильным, поскольку для любого значения $l = 1, \cdots, n$ имеем
$\angle A_{l}^{\prime}A_{l+2}^{\prime}A_{l+1}^{\prime} = \angle A_{l+2}^{\prime}A_{l}^{\prime}A_{l+1}^{\prime}$, т.е. $A_{l}^{\prime}A_{l+1}^{\prime} = A_{l+1}^{\prime}A_{l+2}^{\prime}$
(считаем $A_{n+1}^{\prime} = A_{1}^{\prime}, A_{n+2}^{\prime} = A_{2}^{\prime}$) (рис.). следовательно, n-угольник должен иметь не только равные углы, но и равные стороны. Наконец, вершины правильного n-угольника действительно удовлетворяют условию $\alpha = 180^{\circ}/n$. Это становится ясным, если описать около n-угольника окружность и заметить, что все углы между соседними диагоналями, исходящими из любой вершины, опираются на дуги $360^{\circ}/n$, а значит, равны $180^{\circ}/n$..
