Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2949
2019-05-06 
Доказать, что многочлен
$x^{9999} + x^{8888} + x^{7777} + x^{6666} + x^{5555} + x^{4444} + x^{3333} + x^{2222} + x^{1111} + 1$
делится на $x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 +x^3 + x^2 + 1$.
Решение:
Первое решение. Обозначим наши многочлены соответственно через $В$ и $А$. В таком случае имеем:
$B - A = (x^{9999} - x^9) + (x^{8888} - x^8) + (x^{7777} - x^7) + (x^{6666} - x^6) + (x^{5555} - x^5) + (x^{4444} - x^4) + (x^{3333} - x^3) + (x^{2222} - x^2) + (x^{1111} - x) = x^9 [(x^{10})^{999} - 1] + x^8 [(x^{10})^{888} - 1] + x^7 [(x^{10})^{777} - 1] + x^6 [(x^{10})^{666} - 1] + x^5 [(x^{10})^{555} - 1] + x^4 [(x^{10})^{444} - 1] + x^3 [(x^{10})^{333} - 1] + x^2 [(x^{10})^{222} - 1] + x^7 [(x^{10})^{111} - 1]$.
Но каждое выражение в скобках делится на $х^{10}-1$, а следовательно, и на $A = \frac {x^{10} - 1}{x - 1}$. Таким образом, мы видим, что $В-А$ делится на $А$, а значит, и $В$ делится на $А$.
Второе решение.
$x^9 + x^8 + x^7 + x^6 +x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = \frac {x^{10} - 1}{x - 1} = \frac {(x-1)(x - \alpha_1)(x- \alpha_2)(x- \alpha_3) \cdots (x - \alpha_9)}{x - 1} = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_9)$,
где $\alpha_k = \cos { \frac{2k \pi}{10}} + i \sin { \frac{2k \pi}{10}} (k = 1,2, \cdots, 9)$, ибо корни уравнения $x^{10} - 1 = 0$ - корни, десятой степени из единицы - имеют именно такой вид. Следовательно, для того чтобы доказать наше утверждение, достаточно проверить, что
$x^{9999} + x^{8888} + x^{7777} + x^{6666} + x^{5555} + x^{4444} + x^{3333} + x^{2222} + x^{1111} + 1$
делится на каждый из множителей $(x - \alpha_1), (x - \alpha_2), \cdots, (x - \alpha_9)$. Но последнее равносильно тому, что уравнение
$x^{9999} + x^{8888} + x^{7777} + x^{6666} + x^{5555} + x^{4444} + x^{3333} + x^{2222} + x^{1111} + 1 = 0$ (*)
имеет корни $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_9$. Проверим, что эти значения действительно удовлетворяют уравнению (*): так как $\alpha_k^{10} = 1 (k = 1,2,3, \cdots, 9)$, то
$\alpha_k^{9999} = \alpha_k^{9990+9} = (\alpha_k^{10})^{999} \alpha_k^9 = \alpha_k^9$;
$\alpha_k^{8888} = \alpha_k^{8880+8} = (\alpha_k^{10})^{888} \alpha_k^8 = \alpha_k^8$ и т. д.
и
$\alpha_k^{9999} + \alpha_k^{8888} + \alpha_k^{7777} + \alpha_k^{6666} + \alpha_k^{5555} + \alpha_k^{4444} + \alpha_k^{3333} + \alpha_k^{2222} + \alpha_k^{1111} + 1 = \alpha_k^9 + \alpha_k^8 + \alpha_k^7 + \alpha_k^6 + \alpha_k^5 + \alpha_k^4 + \alpha_k^3 + \alpha_k^2 + \alpha_k + 1 = 0 (k = 1,2, \cdots, 9)$.
Доказать, что многочлен
$x^{9999} + x^{8888} + x^{7777} + x^{6666} + x^{5555} + x^{4444} + x^{3333} + x^{2222} + x^{1111} + 1$
делится на $x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 +x^3 + x^2 + 1$.
Решение:
Первое решение. Обозначим наши многочлены соответственно через $В$ и $А$. В таком случае имеем:
$B - A = (x^{9999} - x^9) + (x^{8888} - x^8) + (x^{7777} - x^7) + (x^{6666} - x^6) + (x^{5555} - x^5) + (x^{4444} - x^4) + (x^{3333} - x^3) + (x^{2222} - x^2) + (x^{1111} - x) = x^9 [(x^{10})^{999} - 1] + x^8 [(x^{10})^{888} - 1] + x^7 [(x^{10})^{777} - 1] + x^6 [(x^{10})^{666} - 1] + x^5 [(x^{10})^{555} - 1] + x^4 [(x^{10})^{444} - 1] + x^3 [(x^{10})^{333} - 1] + x^2 [(x^{10})^{222} - 1] + x^7 [(x^{10})^{111} - 1]$.
Но каждое выражение в скобках делится на $х^{10}-1$, а следовательно, и на $A = \frac {x^{10} - 1}{x - 1}$. Таким образом, мы видим, что $В-А$ делится на $А$, а значит, и $В$ делится на $А$.
Второе решение.
$x^9 + x^8 + x^7 + x^6 +x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = \frac {x^{10} - 1}{x - 1} = \frac {(x-1)(x - \alpha_1)(x- \alpha_2)(x- \alpha_3) \cdots (x - \alpha_9)}{x - 1} = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_9)$,
где $\alpha_k = \cos { \frac{2k \pi}{10}} + i \sin { \frac{2k \pi}{10}} (k = 1,2, \cdots, 9)$, ибо корни уравнения $x^{10} - 1 = 0$ - корни, десятой степени из единицы - имеют именно такой вид. Следовательно, для того чтобы доказать наше утверждение, достаточно проверить, что
$x^{9999} + x^{8888} + x^{7777} + x^{6666} + x^{5555} + x^{4444} + x^{3333} + x^{2222} + x^{1111} + 1$
делится на каждый из множителей $(x - \alpha_1), (x - \alpha_2), \cdots, (x - \alpha_9)$. Но последнее равносильно тому, что уравнение
$x^{9999} + x^{8888} + x^{7777} + x^{6666} + x^{5555} + x^{4444} + x^{3333} + x^{2222} + x^{1111} + 1 = 0$ (*)
имеет корни $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \cdots, \alpha_9$. Проверим, что эти значения действительно удовлетворяют уравнению (*): так как $\alpha_k^{10} = 1 (k = 1,2,3, \cdots, 9)$, то
$\alpha_k^{9999} = \alpha_k^{9990+9} = (\alpha_k^{10})^{999} \alpha_k^9 = \alpha_k^9$;
$\alpha_k^{8888} = \alpha_k^{8880+8} = (\alpha_k^{10})^{888} \alpha_k^8 = \alpha_k^8$ и т. д.
и
$\alpha_k^{9999} + \alpha_k^{8888} + \alpha_k^{7777} + \alpha_k^{6666} + \alpha_k^{5555} + \alpha_k^{4444} + \alpha_k^{3333} + \alpha_k^{2222} + \alpha_k^{1111} + 1 = \alpha_k^9 + \alpha_k^8 + \alpha_k^7 + \alpha_k^6 + \alpha_k^5 + \alpha_k^4 + \alpha_k^3 + \alpha_k^2 + \alpha_k + 1 = 0 (k = 1,2, \cdots, 9)$.
