Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2948
2019-05-06 
Разложить на множители выражение
$а^{10} + а^5 + 1$.
Решение:
$a^{10} + a^5 + 1 = \frac {(a^5)^3 - 1}{a^5 - 1} = \frac {a^{15} - 1}{a^5 - 1} = \frac {(a^3)^5 - 1}{(a-1)(a^4 + a^3 + a^2 + a + 1)} = \frac {(a^3-1)(a^12 + a^9 + a^6 + a^3 + 1)}{(a-1)(a^4 + a^3 + a^2 + a + 1)} = \frac {(a^2+a+1)(a^12+a^9+a^6+a^3+1)}{a^4 + a^3 + a^2 + a + 1}$.
Но непосредственное деление дает
$\frac {a^{12} + a^9 + a^6 + a^3 + 1}{a^4 + a^3 + a^2 + a + 1} = a^8 - a^7 + a^5 - a^4 + a^3 - a + 1$
и, следовательно,
$a^{10} + a^5 + 1 = (a^2 + a + 1)(a^8 - a^7 + a^5 - a^4 + a^3 - a + 1)$.
Разложить на множители выражение
$а^{10} + а^5 + 1$.
Решение:
$a^{10} + a^5 + 1 = \frac {(a^5)^3 - 1}{a^5 - 1} = \frac {a^{15} - 1}{a^5 - 1} = \frac {(a^3)^5 - 1}{(a-1)(a^4 + a^3 + a^2 + a + 1)} = \frac {(a^3-1)(a^12 + a^9 + a^6 + a^3 + 1)}{(a-1)(a^4 + a^3 + a^2 + a + 1)} = \frac {(a^2+a+1)(a^12+a^9+a^6+a^3+1)}{a^4 + a^3 + a^2 + a + 1}$.
Но непосредственное деление дает
$\frac {a^{12} + a^9 + a^6 + a^3 + 1}{a^4 + a^3 + a^2 + a + 1} = a^8 - a^7 + a^5 - a^4 + a^3 - a + 1$
и, следовательно,
$a^{10} + a^5 + 1 = (a^2 + a + 1)(a^8 - a^7 + a^5 - a^4 + a^3 - a + 1)$.
