Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2947
2019-05-06 
Доказать, что
$(a+ b + c)^{333} - a^{333} - b^{333} - c^{333}$
делится на
$(a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3$.
Решение:
Нетрудно видеть, что $(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)$ (проверьте это!); поэтому достаточно доказать, что
$P(a,b,c) = (a+b+c)^{333} - a^{333} - b^{333} - c^{333}$
делится на $a + b$, на $b + с$ и на $а + с$. Но, очевидно, многочлен (с буквенными коэффициентами) $P(x,b,c) = (x+b+c)^{333} - x^{333} - b^{333} - c^{333}$ от переменной $х$ при подстановке в него вместо $х$ значения $- b$ обращается в нуль; поэтому $Р(х, b, с)$ делится на $a+b$, а значит, $Р(а, b, с)$ делится на $a + b$. Аналогично доказывается и то, что $Р(a, b, c)$ делится на $b + с$ и на $c + a$ (это также следует из того, что буквы $a, b, с$ входят в выражение для $P(a, b, с)$ симметрично).
Доказать, что
$(a+ b + c)^{333} - a^{333} - b^{333} - c^{333}$
делится на
$(a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3$.
Решение:
Нетрудно видеть, что $(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)$ (проверьте это!); поэтому достаточно доказать, что
$P(a,b,c) = (a+b+c)^{333} - a^{333} - b^{333} - c^{333}$
делится на $a + b$, на $b + с$ и на $а + с$. Но, очевидно, многочлен (с буквенными коэффициентами) $P(x,b,c) = (x+b+c)^{333} - x^{333} - b^{333} - c^{333}$ от переменной $х$ при подстановке в него вместо $х$ значения $- b$ обращается в нуль; поэтому $Р(х, b, с)$ делится на $a+b$, а значит, $Р(а, b, с)$ делится на $a + b$. Аналогично доказывается и то, что $Р(a, b, c)$ делится на $b + с$ и на $c + a$ (это также следует из того, что буквы $a, b, с$ входят в выражение для $P(a, b, с)$ симметрично).
