Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2945
2019-05-06 
а) Доказать, что при любом $n$
$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 2$,
б) Доказать, что при любом $n$
$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 1 \frac{3}{4}$.
Очевидно, что неравенство задачи б) является усилением неравенства задачи а).
Решение:
а) Предположим, что в сумме $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{n^2}$ число $n$ меньше чем $2^{k+1}$. Рассмотрим сумму $1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac {1}{(2^{k+1} - 1)^2}$ и аналогично решению задачи 2943 сгруппируем члены следующим образом:
$1 + \left ( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} \right ) + \left ( \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{7^2} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{(2^k)^2} + \frac{1}{(2^k + 1)^2} + \cdots + \frac{1}{(2^{k+1} - 1)^2)} \right ) < 1 + \left ( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2} \right ) + \left ( \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^2} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{(2^k)^2} + \frac{1}{(2^k)^2} + \cdots + \frac{1}{(2^k)^2} \right ) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^k} = \frac {1 - \frac{1}{(2^{k+1})}} {1 - \frac{1}{2}} = 2 - \frac{1}{2^k} < 2 $,
что и требовалось доказать.
б) Очевидно, имеем:
$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} <$
$>\left ( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{4} \right ) + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{(n-1)n} = \left ( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{(n-1)n} \right ) - \frac{1}{4}$.
Но, так как $\frac{1}{(k-1)k} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ при всех $k = 2,3, \cdots, n$
$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{(n-1)n} = 1 - \frac{1}{n} < 1$
и, следовательно,
$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 1 + \left ( 1 - \frac{1}{4} \right ) = 1 \frac{3}{4}$,
что и требовалось доказать.
а) Доказать, что при любом $n$
$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 2$,
б) Доказать, что при любом $n$
$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 1 \frac{3}{4}$.
Очевидно, что неравенство задачи б) является усилением неравенства задачи а).
Решение:
а) Предположим, что в сумме $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{n^2}$ число $n$ меньше чем $2^{k+1}$. Рассмотрим сумму $1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac {1}{(2^{k+1} - 1)^2}$ и аналогично решению задачи 2943 сгруппируем члены следующим образом:
$1 + \left ( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} \right ) + \left ( \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{6^2} + \frac{1}{7^2} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{(2^k)^2} + \frac{1}{(2^k + 1)^2} + \cdots + \frac{1}{(2^{k+1} - 1)^2)} \right ) < 1 + \left ( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2} \right ) + \left ( \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^2} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{(2^k)^2} + \frac{1}{(2^k)^2} + \cdots + \frac{1}{(2^k)^2} \right ) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^k} = \frac {1 - \frac{1}{(2^{k+1})}} {1 - \frac{1}{2}} = 2 - \frac{1}{2^k} < 2 $,
что и требовалось доказать.
б) Очевидно, имеем:
$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} <$
$>\left ( \frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{4} \right ) + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{(n-1)n} = \left ( \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{(n-1)n} \right ) - \frac{1}{4}$.
Но, так как $\frac{1}{(k-1)k} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ при всех $k = 2,3, \cdots, n$
$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \frac{1}{(n-1)n} = 1 - \frac{1}{n} < 1$
и, следовательно,
$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{n^2} < 1 + \left ( 1 - \frac{1}{4} \right ) = 1 \frac{3}{4}$,
что и требовалось доказать.
