Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2944
2019-05-06 
Доказать, что если в сумме
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n}$
вычеркнуть все члены, у которых в знаменателе встречается цифра 9, то сумма оставшихся членов при любом $n$ будет меньше 80.
Решение:
Обозначим через $n_k$ число незачеркнутых слагаемых между $\frac{1}{10^k}$ и $\frac{1}{10^{k+1}}$, включая $\frac{1}{10^k}$, но не $\frac{1}{10^{k+1}}$. Если слагаемое $\frac{1}{q}$, расположенное между $\frac{1}{10^{k-1}}$ и $\frac{1}{10^k}$ не было зачеркнуто, то из слагаемых $\frac{1}{10q}, \frac{1}{10q+1}, \frac{1}{10q+2}, \cdots, \frac{1}{10q+8}, \frac{1}{10q+9}$ расположенных между $\frac{1}{10^k}$ и $\frac{1}{10^{k+1}}$ будет зачеркнуто только последнее; если же слагаемое $\frac{1}{q}$ было зачеркнуто, то все слагаемые $\frac{1}{10q}, \frac{1}{10q + 1}, \cdots, \frac{1}{10q+8}, \frac{1}{10q+9}$ также будут зачеркнуты. Отсюда следует, что
$n_k = 9n_{k-1}$.
Так как $n_0 = 8$ из слагаемых $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}$ зачеркнуто только $\frac{1}{9}$, то
$n_1 = 8 \cdot 9 = 72, n_2 = 8 \cdot 9^2, \cdots, n_k = 8 \cdot 9^k$.
Пусть теперь в сумме $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$ число $n < 10^{m+1}$. Дополним ее до суммы $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot + \frac{1}{10^{m+1} - 1}$ вычеркнем члены, знаменатели которых содержат девятку, и сгруппируем оставшиеся члены:
$\left ( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{8} \right ) + \left ( \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \cdots + \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \cdots + \frac{1}{88} \right ) + \left ( \frac{1}{100} + \frac{1}{101} + \cdots + \frac{1}{888} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{10^m} + \cdots + \underbrace { \frac{1}{88 \cdots 8}}_{(m+1) \:раз} \right ) < 1 \cdot n_0 + \frac{1}{10} \cdot n_1 + \frac{1}{100} \cdot n_2 + \cdots + \frac{1}{10^{m-1}} \cdot n_{m-1} + \frac{1}{10^m} \cdot n^m$,
так как вместо каждой скобки поставлено произведение наибольшего слагаемого этой скобки на число членов в скобке. Продолжим эту оценку дальше:
$1 \cdot n_0 + \frac{1}{10} \cdot n_1 + \frac{1}{100} \cdot n_2 + \cdots + \frac{1}{10^{m-1}} \cdot n_{m-1} + \frac{1}{10^m} \cdot n_m = 8 \left (1 + \frac{9}{10} + \frac{9^2}{10^2} + \cdots + \frac {9^{m-1}}{10^{m-1}} + \frac{9^m}{10^m} \right ) = 8 \cdot \frac {1 - \frac {9^{m+1}}{10^{m+1}}}{1 - \frac{9}{10}} < 8 \cdot \frac{1}{1- \frac{9}{10}} = 8 \cdot 10 = 80$.
Таким образом, утверждение задачи доказано.
Доказать, что если в сумме
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n}$
вычеркнуть все члены, у которых в знаменателе встречается цифра 9, то сумма оставшихся членов при любом $n$ будет меньше 80.
Решение:
Обозначим через $n_k$ число незачеркнутых слагаемых между $\frac{1}{10^k}$ и $\frac{1}{10^{k+1}}$, включая $\frac{1}{10^k}$, но не $\frac{1}{10^{k+1}}$. Если слагаемое $\frac{1}{q}$, расположенное между $\frac{1}{10^{k-1}}$ и $\frac{1}{10^k}$ не было зачеркнуто, то из слагаемых $\frac{1}{10q}, \frac{1}{10q+1}, \frac{1}{10q+2}, \cdots, \frac{1}{10q+8}, \frac{1}{10q+9}$ расположенных между $\frac{1}{10^k}$ и $\frac{1}{10^{k+1}}$ будет зачеркнуто только последнее; если же слагаемое $\frac{1}{q}$ было зачеркнуто, то все слагаемые $\frac{1}{10q}, \frac{1}{10q + 1}, \cdots, \frac{1}{10q+8}, \frac{1}{10q+9}$ также будут зачеркнуты. Отсюда следует, что
$n_k = 9n_{k-1}$.
Так как $n_0 = 8$ из слагаемых $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots, \frac{1}{8}, \frac{1}{9}$ зачеркнуто только $\frac{1}{9}$, то
$n_1 = 8 \cdot 9 = 72, n_2 = 8 \cdot 9^2, \cdots, n_k = 8 \cdot 9^k$.
Пусть теперь в сумме $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}$ число $n < 10^{m+1}$. Дополним ее до суммы $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot + \frac{1}{10^{m+1} - 1}$ вычеркнем члены, знаменатели которых содержат девятку, и сгруппируем оставшиеся члены:
$\left ( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{8} \right ) + \left ( \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12} + \cdots + \frac{1}{18} + \frac{1}{20} + \cdots + \frac{1}{88} \right ) + \left ( \frac{1}{100} + \frac{1}{101} + \cdots + \frac{1}{888} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{10^m} + \cdots + \underbrace { \frac{1}{88 \cdots 8}}_{(m+1) \:раз} \right ) < 1 \cdot n_0 + \frac{1}{10} \cdot n_1 + \frac{1}{100} \cdot n_2 + \cdots + \frac{1}{10^{m-1}} \cdot n_{m-1} + \frac{1}{10^m} \cdot n^m$,
так как вместо каждой скобки поставлено произведение наибольшего слагаемого этой скобки на число членов в скобке. Продолжим эту оценку дальше:
$1 \cdot n_0 + \frac{1}{10} \cdot n_1 + \frac{1}{100} \cdot n_2 + \cdots + \frac{1}{10^{m-1}} \cdot n_{m-1} + \frac{1}{10^m} \cdot n_m = 8 \left (1 + \frac{9}{10} + \frac{9^2}{10^2} + \cdots + \frac {9^{m-1}}{10^{m-1}} + \frac{9^m}{10^m} \right ) = 8 \cdot \frac {1 - \frac {9^{m+1}}{10^{m+1}}}{1 - \frac{9}{10}} < 8 \cdot \frac{1}{1- \frac{9}{10}} = 8 \cdot 10 = 80$.
Таким образом, утверждение задачи доказано.
