Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2943
2019-05-06 
Доказать, что сумма
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n}$
превзойдет любое наперед заданное число $N$, если только $n$ достаточно велико.
Решение:
Докажем, что сумму
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n}$
можно сделать больше любого числа $N$. Будем считать $N$ целым и возьмем $n = 2^{2N}$; тогда
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \left ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right ) + \left ( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right ) + \cdots + \left ( \frac {1}{2^{2N-1} + 1} + \frac {1}{2^{2N-1} + 2} + \cdots + \frac{1}{2^{2N} - 1} + \frac{1}{2^{2N}} \right ) > 1 + \underbrace { \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2}}_{2N \:раз} > N + 1$
(каждая сумма в скобках больше $\frac{1}{2}$ в силу результата задачи 2939а)).
Примечание. Можно было бы так же доказать утверждение задачи, исходя из результата задачи 2939 б).
Доказать, что сумма
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n}$
превзойдет любое наперед заданное число $N$, если только $n$ достаточно велико.
Решение:
Докажем, что сумму
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n}$
можно сделать больше любого числа $N$. Будем считать $N$ целым и возьмем $n = 2^{2N}$; тогда
$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \left ( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right ) + \left ( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right ) + \cdots + \left ( \frac {1}{2^{2N-1} + 1} + \frac {1}{2^{2N-1} + 2} + \cdots + \frac{1}{2^{2N} - 1} + \frac{1}{2^{2N}} \right ) > 1 + \underbrace { \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2}}_{2N \:раз} > N + 1$
(каждая сумма в скобках больше $\frac{1}{2}$ в силу результата задачи 2939а)).
Примечание. Можно было бы так же доказать утверждение задачи, исходя из результата задачи 2939 б).
