Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2942
2019-05-06 
а) Определить сумму
$\frac{1}{10^2} + \frac{1}{11^2} + \frac{1}{12^2} + \cdots + \frac{1}{1000^2}$
с точностью до 0,006.
б) Определить сумму
$\frac{1}{10!} + \frac{1}{11!} + \frac{1}{12!} + \cdots + \frac{1}{1000!}$
с точностью до 0,000000015.
Решение:
а) Очевидно, имеем:
$\frac{1}{10^2} + \frac{1}{11^2} + \cdots + \frac{1}{100^2} > \frac{1}{10 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 12} + \cdots + \frac{1}{1000 \cdot 1001} = \left ( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right ) + \left ( \frac{1}{11} - \frac{1}{12} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{1000} - \frac{1}{1001} \right ) = \frac{1}{10} - \frac{1}{1001} > 0,1 - 0,001 = 0,099$
и аналогично
$\frac{1}{10^2} + \frac{1}{11^2} + \cdots + \frac{1}{1000^2} < \frac{1}{9 \cdot 10} + \frac{1}{10 \cdot 11} + \cdots + \frac{1}{999 \cdot 1000} = \left ( \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right ) + \left ( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{999} - \frac{1}{1000} \right ) = \frac{1}{9} - \frac{1}{1000} > 0,112 - 0,001 = 0,111$.
Следовательно, сумма $\frac{1}{10^2} + \frac{1}{11^2} + \cdots + \frac{1}{1000^2}$ с точностью до 0,006 равна 0,105.
б) Отметим, прежде всего, что
$\frac{1}{10!} + \frac{1}{11!} + \frac{1}{12!} + \cdots + \frac{1}{1000!} > \frac{1}{10!} = \frac{1}{3628800} \approx 0,000000275$.
С другой стороны,
$\frac{1}{10!} + \frac{1}{11!} + \frac{1}{12!} + \cdots + \frac{1}{1000!} < \frac{1}{9} \left \{ \frac{9}{10!} + \frac{10}{11!} + \frac{11}{12!} + \cdots + \frac{999}{1000!} \right \} = \frac{1}{9} \left \{ \frac{10-1}{10!} + \frac{11-1}{11!} + \frac{12-1}{12!} + \cdots + \frac{1000-1}{1000!} \right \} = \frac{1}{9} \left \{ \frac{1}{9!} - \frac{1}{10!} + \frac{1}{10!} - \frac{1}{11!} + \frac{1}{11!} - \frac{1}{12!} + \cdots + \frac{1}{999!} - \frac{1}{1000!} \right \} = \frac{1}{9} \left ( \frac{1}{9!} - \frac{1}{1000!} \right ) < \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9!} = \frac{1}{3265920} \approx 0,000000305$.
Таким образом, сумма $\frac{1}{10!} + \frac{1}{11!} + \cdots + \frac{1}{1000!}$ с точностью до 0,000000015 равна 0,00000029.
а) Определить сумму
$\frac{1}{10^2} + \frac{1}{11^2} + \frac{1}{12^2} + \cdots + \frac{1}{1000^2}$
с точностью до 0,006.
б) Определить сумму
$\frac{1}{10!} + \frac{1}{11!} + \frac{1}{12!} + \cdots + \frac{1}{1000!}$
с точностью до 0,000000015.
Решение:
а) Очевидно, имеем:
$\frac{1}{10^2} + \frac{1}{11^2} + \cdots + \frac{1}{100^2} > \frac{1}{10 \cdot 11} + \frac{1}{11 \cdot 12} + \cdots + \frac{1}{1000 \cdot 1001} = \left ( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right ) + \left ( \frac{1}{11} - \frac{1}{12} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{1000} - \frac{1}{1001} \right ) = \frac{1}{10} - \frac{1}{1001} > 0,1 - 0,001 = 0,099$
и аналогично
$\frac{1}{10^2} + \frac{1}{11^2} + \cdots + \frac{1}{1000^2} < \frac{1}{9 \cdot 10} + \frac{1}{10 \cdot 11} + \cdots + \frac{1}{999 \cdot 1000} = \left ( \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right ) + \left ( \frac{1}{10} - \frac{1}{11} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{999} - \frac{1}{1000} \right ) = \frac{1}{9} - \frac{1}{1000} > 0,112 - 0,001 = 0,111$.
Следовательно, сумма $\frac{1}{10^2} + \frac{1}{11^2} + \cdots + \frac{1}{1000^2}$ с точностью до 0,006 равна 0,105.
б) Отметим, прежде всего, что
$\frac{1}{10!} + \frac{1}{11!} + \frac{1}{12!} + \cdots + \frac{1}{1000!} > \frac{1}{10!} = \frac{1}{3628800} \approx 0,000000275$.
С другой стороны,
$\frac{1}{10!} + \frac{1}{11!} + \frac{1}{12!} + \cdots + \frac{1}{1000!} < \frac{1}{9} \left \{ \frac{9}{10!} + \frac{10}{11!} + \frac{11}{12!} + \cdots + \frac{999}{1000!} \right \} = \frac{1}{9} \left \{ \frac{10-1}{10!} + \frac{11-1}{11!} + \frac{12-1}{12!} + \cdots + \frac{1000-1}{1000!} \right \} = \frac{1}{9} \left \{ \frac{1}{9!} - \frac{1}{10!} + \frac{1}{10!} - \frac{1}{11!} + \frac{1}{11!} - \frac{1}{12!} + \cdots + \frac{1}{999!} - \frac{1}{1000!} \right \} = \frac{1}{9} \left ( \frac{1}{9!} - \frac{1}{1000!} \right ) < \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{9!} = \frac{1}{3265920} \approx 0,000000305$.
Таким образом, сумма $\frac{1}{10!} + \frac{1}{11!} + \cdots + \frac{1}{1000!}$ с точностью до 0,000000015 равна 0,00000029.
