Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2941
2019-05-06 
Найти целую часть числа
$\frac {1}{\sqrt [3]{4}} + \frac {1}{\sqrt [3]{5}} + \frac {1}{\sqrt [3]{6}} + \cdots + \frac {1}{\sqrt [3]{1000000}}$.
Решение:
Прежде всего, отметим, что из сравнения двух выражений
$\left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^2 = 1 + 2 \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}$
и
$\left ( 1+ \frac{2}{3} \frac{1}{n} \right )^3 = 1+ 2 \frac{1}{n} + \frac{4}{3} \frac{1}{n^2} + \frac{8}{27} \frac{1}{n^3}$
следует, что при каждом целом положительном $n$
$\left ( 1 + \frac{2}{3} \frac{1}{n} \right )^3 > \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^2$.
Отсюда имеем: $1 + \frac{2}{3} \frac{1}{n} > \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{ \frac{2}{3}}$. Умножая последнее неравенство на $n^{ \frac{2}{3}}$, получаем: $n^{ \frac{2}{3} } + \frac{2}{3} n^{- \frac{1}{3}} > (n+1)^{ \frac{2}{3}}$ и окончательно
$\frac{1}{ \sqrt [3]{n}} > \frac{3}{2} [\sqrt [3]{(n+1)^2} - \sqrt [3]{n^2}]$.
Аналогично
$\left ( 1 - \frac{2}{3} \frac{1}{n} \right )^3 = 1 - 2 \frac{1}{n} + \frac{4}{3} \frac{1}{n^2} - \frac{8}{27} \frac{1}{n^3} > 1 - 2 \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} = \left ( 1- \frac{1}{n} \right )^2$
(так как $\frac{1}{3} \frac{1}{n^2} - \frac{8}{27} \frac{1}{n^3} > \frac{1}{3} \frac{1}{n^2} - \frac{1}{3} \frac{1}{n^3} \geq 0$), откуда следует
$1 - \frac{2}{3} \frac{1}{n} > \left ( 1 - \frac{1}{n} \right )^{ \frac{2}{3}}, n^{ \frac{2}{3}} - \frac{2}{3} n^{- \frac{1}{3}} > (n-1)^{ \frac{2}{3}}$,
$\frac{1}{ \sqrt [3]{n}} < \frac{3}{2} [\sqrt [3]{n^2} - \sqrt [3]{(n-1)^2}]$.
Теперь можем написать:
$\frac{1}{ \sqrt [3]{4}} + \frac{1}{ \sqrt [3]{5}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt [3]{1000000}} > \frac{3}{2} [(\sqrt [3]{5^2} - \sqrt [3]{4^2}) + (\sqrt [3]{6^2} - \sqrt [3]{5^2}) + \cdots + (\sqrt [3]{1000001^2} - \sqrt [3]{1000000^2})] = \frac{3}{2} (\sqrt [3]{1000002000001} - \sqrt [3]{16}) > \frac{3}{2} \cdot 10000 - \sqrt [3]{54} > 15000 - 4 = 14996$.
С другой стороны,
$\frac{1}{ \sqrt [3]{4}} + \frac{1}{ \sqrt [3]{5}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt [3]{1000000}} < \frac{3}{2} [(\sqrt [3]{4^2} - \sqrt [3]{3^2}) + (\sqrt[3]{5^{2} } - \sqrt[3]{4^{2} } ) + \cdots + ( \sqrt[3]{1000000^{2} } - \sqrt[3]{999999^{2} } ) ] = \frac{3}{2} ( \sqrt[3]{1000000000000} - \sqrt[3]{9} ) < \frac{3}{2} (10000 - 2) = 14997 $.
Таким образом, целая часть $\frac{1}{ \sqrt [3]{4}} + \frac{1}{ \sqrt [3]{5}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt [3]{1000000}}$ равна 14 996.
Ответ: 14 996.
Найти целую часть числа
$\frac {1}{\sqrt [3]{4}} + \frac {1}{\sqrt [3]{5}} + \frac {1}{\sqrt [3]{6}} + \cdots + \frac {1}{\sqrt [3]{1000000}}$.
Решение:
Прежде всего, отметим, что из сравнения двух выражений
$\left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^2 = 1 + 2 \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}$
и
$\left ( 1+ \frac{2}{3} \frac{1}{n} \right )^3 = 1+ 2 \frac{1}{n} + \frac{4}{3} \frac{1}{n^2} + \frac{8}{27} \frac{1}{n^3}$
следует, что при каждом целом положительном $n$
$\left ( 1 + \frac{2}{3} \frac{1}{n} \right )^3 > \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^2$.
Отсюда имеем: $1 + \frac{2}{3} \frac{1}{n} > \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{ \frac{2}{3}}$. Умножая последнее неравенство на $n^{ \frac{2}{3}}$, получаем: $n^{ \frac{2}{3} } + \frac{2}{3} n^{- \frac{1}{3}} > (n+1)^{ \frac{2}{3}}$ и окончательно
$\frac{1}{ \sqrt [3]{n}} > \frac{3}{2} [\sqrt [3]{(n+1)^2} - \sqrt [3]{n^2}]$.
Аналогично
$\left ( 1 - \frac{2}{3} \frac{1}{n} \right )^3 = 1 - 2 \frac{1}{n} + \frac{4}{3} \frac{1}{n^2} - \frac{8}{27} \frac{1}{n^3} > 1 - 2 \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} = \left ( 1- \frac{1}{n} \right )^2$
(так как $\frac{1}{3} \frac{1}{n^2} - \frac{8}{27} \frac{1}{n^3} > \frac{1}{3} \frac{1}{n^2} - \frac{1}{3} \frac{1}{n^3} \geq 0$), откуда следует
$1 - \frac{2}{3} \frac{1}{n} > \left ( 1 - \frac{1}{n} \right )^{ \frac{2}{3}}, n^{ \frac{2}{3}} - \frac{2}{3} n^{- \frac{1}{3}} > (n-1)^{ \frac{2}{3}}$,
$\frac{1}{ \sqrt [3]{n}} < \frac{3}{2} [\sqrt [3]{n^2} - \sqrt [3]{(n-1)^2}]$.
Теперь можем написать:
$\frac{1}{ \sqrt [3]{4}} + \frac{1}{ \sqrt [3]{5}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt [3]{1000000}} > \frac{3}{2} [(\sqrt [3]{5^2} - \sqrt [3]{4^2}) + (\sqrt [3]{6^2} - \sqrt [3]{5^2}) + \cdots + (\sqrt [3]{1000001^2} - \sqrt [3]{1000000^2})] = \frac{3}{2} (\sqrt [3]{1000002000001} - \sqrt [3]{16}) > \frac{3}{2} \cdot 10000 - \sqrt [3]{54} > 15000 - 4 = 14996$.
С другой стороны,
$\frac{1}{ \sqrt [3]{4}} + \frac{1}{ \sqrt [3]{5}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt [3]{1000000}} < \frac{3}{2} [(\sqrt [3]{4^2} - \sqrt [3]{3^2}) + (\sqrt[3]{5^{2} } - \sqrt[3]{4^{2} } ) + \cdots + ( \sqrt[3]{1000000^{2} } - \sqrt[3]{999999^{2} } ) ] = \frac{3}{2} ( \sqrt[3]{1000000000000} - \sqrt[3]{9} ) < \frac{3}{2} (10000 - 2) = 14997 $.
Таким образом, целая часть $\frac{1}{ \sqrt [3]{4}} + \frac{1}{ \sqrt [3]{5}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt [3]{1000000}}$ равна 14 996.
Ответ: 14 996.
