Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2940
2019-05-06 
а) Определить целую часть числа
$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{ \sqrt{4}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt{1000000}}$.
б) Определить сумму
$\frac{1}{ \sqrt{10000}} + \frac{1}{ \sqrt{10001}} + \frac{1}{ \sqrt{10002}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt{1000000}}$
с точностью до $\frac{1}{50}$.
Решение:
а) Прежде всего докажем, что
$2 \sqrt {n+1} - 2 \sqrt{n} < \frac{1}{ \sqrt{n}} < 2 \sqrt{n} - 2 \sqrt {n-1}$.
Действительно,
$2 \sqrt {n+1} - 2; \bar {n} = \frac {2 \sqrt {n+1} - \sqrt n)(\sqrt {n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt {n+1} + \sqrt n} = \frac {2}{\sqrt {n+1} + \sqrt{n}} < \frac {2}{\sqrt n + \sqrt n} = \frac{1}{ \sqrt{n}}$
и аналогично доказывается вторая часть неравенства.
Теперь имеем:
$1 + \frac{1}{ \sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt{3}} + \cdots + \frac {1}{\sqrt{ 1000000}} > 1 + 2 [(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{1000001} - \sqrt{1000000} )] = 1 + 2 (\sqrt{1000001} - \sqrt{2}) > 2 \cdot 1001 - \sqrt{8} + 1 > 2000 - 3 + 1 = 1998$.
Аналогично
$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt{1000000}} < 1 + 2 [(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{1000000} - \sqrt{999999})] = 1 + 2 (\sqrt{1000000} - 1) = 1 + 2 \cdot 999 = 1999$.
Следовательно, целая часть суммы $1 + \frac{1}{ \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{1000000}}$ равна 1998.
б) Совершенно аналогично решению задачи а) получаем:
$\frac{1}{ \sqrt{10000}} + \frac{1}{ \sqrt{10001}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt{1000000}} > 2 [(\sqrt{10001} - \sqrt{10000}) + (\sqrt{10002} - \sqrt {10001}) + \cdots + (\sqrt{1000001} - \sqrt{1000000})] = 2(\sqrt{1000001} - \sqrt{10000}) > 2(1000 - 100) = 1800$
и
$\frac{1}{ \sqrt{10000}} + \frac{1}{\sqrt{10001}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt{1000000}} < 2 [(\sqrt{10000} - \sqrt{9999}) + ( \sqrt{10001} - \sqrt{10000} + \cdots + \sqrt{1000000} - \sqrt{999999})] = 2 (\sqrt{1000000} - \sqrt{9999}) = 2000 - \sqrt{39996} < 2000 - 199,98 = 1800,02$.
Следовательно, сумма $\frac{1}{ \sqrt{10000}} + \frac{1}{ \sqrt{10001}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt{1000000}}$ с точностью до 0,02 будет равна 1800.
а) Определить целую часть числа
$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{ \sqrt{4}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt{1000000}}$.
б) Определить сумму
$\frac{1}{ \sqrt{10000}} + \frac{1}{ \sqrt{10001}} + \frac{1}{ \sqrt{10002}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt{1000000}}$
с точностью до $\frac{1}{50}$.
Решение:
а) Прежде всего докажем, что
$2 \sqrt {n+1} - 2 \sqrt{n} < \frac{1}{ \sqrt{n}} < 2 \sqrt{n} - 2 \sqrt {n-1}$.
Действительно,
$2 \sqrt {n+1} - 2; \bar {n} = \frac {2 \sqrt {n+1} - \sqrt n)(\sqrt {n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt {n+1} + \sqrt n} = \frac {2}{\sqrt {n+1} + \sqrt{n}} < \frac {2}{\sqrt n + \sqrt n} = \frac{1}{ \sqrt{n}}$
и аналогично доказывается вторая часть неравенства.
Теперь имеем:
$1 + \frac{1}{ \sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt{3}} + \cdots + \frac {1}{\sqrt{ 1000000}} > 1 + 2 [(\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{4} - \sqrt{3}) + \cdots + (\sqrt{1000001} - \sqrt{1000000} )] = 1 + 2 (\sqrt{1000001} - \sqrt{2}) > 2 \cdot 1001 - \sqrt{8} + 1 > 2000 - 3 + 1 = 1998$.
Аналогично
$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{ \sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt{1000000}} < 1 + 2 [(\sqrt{2} - 1) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + \cdots + (\sqrt{1000000} - \sqrt{999999})] = 1 + 2 (\sqrt{1000000} - 1) = 1 + 2 \cdot 999 = 1999$.
Следовательно, целая часть суммы $1 + \frac{1}{ \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{1000000}}$ равна 1998.
б) Совершенно аналогично решению задачи а) получаем:
$\frac{1}{ \sqrt{10000}} + \frac{1}{ \sqrt{10001}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt{1000000}} > 2 [(\sqrt{10001} - \sqrt{10000}) + (\sqrt{10002} - \sqrt {10001}) + \cdots + (\sqrt{1000001} - \sqrt{1000000})] = 2(\sqrt{1000001} - \sqrt{10000}) > 2(1000 - 100) = 1800$
и
$\frac{1}{ \sqrt{10000}} + \frac{1}{\sqrt{10001}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt{1000000}} < 2 [(\sqrt{10000} - \sqrt{9999}) + ( \sqrt{10001} - \sqrt{10000} + \cdots + \sqrt{1000000} - \sqrt{999999})] = 2 (\sqrt{1000000} - \sqrt{9999}) = 2000 - \sqrt{39996} < 2000 - 199,98 = 1800,02$.
Следовательно, сумма $\frac{1}{ \sqrt{10000}} + \frac{1}{ \sqrt{10001}} + \cdots + \frac{1}{ \sqrt{1000000}}$ с точностью до 0,02 будет равна 1800.
