Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 294
2014-06-07 
Доказать, что вершины наименьшего по площади правильного n-угольинка ($n > 3$), вписанного в данный правильный n-угольник, совпадают с серединами сторон последнего.
Решение:
Пусть правильный n-угольник $B_{1} \cdots B_{n}$ площади $S_{B}$ вписан в правильный n-угольник $A_{1} \cdots A_{n}$ площади $S_{A}$. Тогда, если они не совпадают, то на каждой стороне $A_{i}A_{i+1}$ при $i = 1, \cdots, n (A_{n+1} = A_{1})$ лежит ровно одна вершина, дли определенности $B_{i}$. Действительно, в противном случае по принципу Дирихле хотя бы на одной стороне, скажем $A_{1}A_{2}$, лежат две точки $B_{1}$ и $B_{2}$ (для определенности $A_{1}B_{2} > A_{1}B_{1}$), тогда вершина $B_{3}$ (лежащая в треугольнике $A_{1}A_{2}A_{3}$, подобном треугольнику $B_{1}B_{2}B_{3}$) и вершина $B_{n}$ (в треугольнике $A_{2}A_{1}A_{n}$) могут лежать только на сторонах $A_{2}A_{3}$ и $A_{1}A_{n}$ соответственно (ввиду $n > 3$ отрезки $A_{1}A_{3}$ и $A_{2}A_{n}$ являются диагоналями, а не сторонами n-угольника $A_{1} \cdots A_{n}$), а значит, $B_{1} = A_{1}$ и $B_{2} = A_{2}$. Докажем, что
$A_{1}B_{1} = A_{2}B_{2} = \cdots = A_{n}B_{n}$.
В самом деле, треугольники $B_{1}A_{2}B_{2}$ и $B_{2}A_{3}B_{3}$ равны (рис.), поскольку
$\angle B_{1}A_{2}B_{2} = \angle B_{2}A_{3}B_{3} = \angle B_{1}B_{2}B_{3} = 180^{\circ} \cdot (n-2)/n$,
$\angle A_{2}B_{1}B_{2} = 180^{\circ} - \angle B_{1}A_{2}B_{2} - \angle A_{2}B_{2}B_{1} = 180^{\circ} - \angle B_{1}B_{2}B_{3} -$
$- \angle A_{2}B_{2}B_{1} = \angle A_{3}B_{2}B_{3}, B_{1}B_{2} = B_{2}B_{3}$.
Поэтому $A_{2}B_{2} = A_{3}B_{3}$; аналогично доказываются остальные равенства. Величина
$S_{B} = S_{A} – S_{B_{1}A_{2}B_{2}} – S_{B_{2}A_{3}B_{3}} - \cdots – S_{B_{n}A_{1}B_{1}} = S_{A} – nS_{B_{1}A_{2}B_{2}}$
принимает наименьшее значение, когда площадь треугольника $B_{1}A_{2}B_{2}$ максимальна. Пусть
$A_{1}A_{2} = a, A_{1}B_{1} = x$,
тогда величина
$S_{B_{1}A_{2}B_{2}} = \frac{1}{2} B_{1}A_{2} \cdot A_{2}B_{2} \sin \angle B_{1}A_{2}B_{2} =$
$= \frac{1}{2} (a - x) x \sin \angle B_{1}A_{2}B_{2} = \frac{1}{2} \left ( \frac{a^{2}}{4} - \left ( x - \frac{a}{2} \right )^{2} \right ) \sin \angle B_{1}A_{2}B_{2}$
принимает наибольшее значение при $x = a/2$, т. е. когда $A_{1}B_{1} = B_{1}A_{2}$. Утверждение доказано.
Доказать, что вершины наименьшего по площади правильного n-угольинка ($n > 3$), вписанного в данный правильный n-угольник, совпадают с серединами сторон последнего.
Решение:
Пусть правильный n-угольник $B_{1} \cdots B_{n}$ площади $S_{B}$ вписан в правильный n-угольник $A_{1} \cdots A_{n}$ площади $S_{A}$. Тогда, если они не совпадают, то на каждой стороне $A_{i}A_{i+1}$ при $i = 1, \cdots, n (A_{n+1} = A_{1})$ лежит ровно одна вершина, дли определенности $B_{i}$. Действительно, в противном случае по принципу Дирихле хотя бы на одной стороне, скажем $A_{1}A_{2}$, лежат две точки $B_{1}$ и $B_{2}$ (для определенности $A_{1}B_{2} > A_{1}B_{1}$), тогда вершина $B_{3}$ (лежащая в треугольнике $A_{1}A_{2}A_{3}$, подобном треугольнику $B_{1}B_{2}B_{3}$) и вершина $B_{n}$ (в треугольнике $A_{2}A_{1}A_{n}$) могут лежать только на сторонах $A_{2}A_{3}$ и $A_{1}A_{n}$ соответственно (ввиду $n > 3$ отрезки $A_{1}A_{3}$ и $A_{2}A_{n}$ являются диагоналями, а не сторонами n-угольника $A_{1} \cdots A_{n}$), а значит, $B_{1} = A_{1}$ и $B_{2} = A_{2}$. Докажем, что
$A_{1}B_{1} = A_{2}B_{2} = \cdots = A_{n}B_{n}$.
В самом деле, треугольники $B_{1}A_{2}B_{2}$ и $B_{2}A_{3}B_{3}$ равны (рис.), поскольку
$\angle B_{1}A_{2}B_{2} = \angle B_{2}A_{3}B_{3} = \angle B_{1}B_{2}B_{3} = 180^{\circ} \cdot (n-2)/n$,
$\angle A_{2}B_{1}B_{2} = 180^{\circ} - \angle B_{1}A_{2}B_{2} - \angle A_{2}B_{2}B_{1} = 180^{\circ} - \angle B_{1}B_{2}B_{3} -$
$- \angle A_{2}B_{2}B_{1} = \angle A_{3}B_{2}B_{3}, B_{1}B_{2} = B_{2}B_{3}$.
Поэтому $A_{2}B_{2} = A_{3}B_{3}$; аналогично доказываются остальные равенства. Величина
$S_{B} = S_{A} – S_{B_{1}A_{2}B_{2}} – S_{B_{2}A_{3}B_{3}} - \cdots – S_{B_{n}A_{1}B_{1}} = S_{A} – nS_{B_{1}A_{2}B_{2}}$
принимает наименьшее значение, когда площадь треугольника $B_{1}A_{2}B_{2}$ максимальна. Пусть
$A_{1}A_{2} = a, A_{1}B_{1} = x$,
тогда величина
$S_{B_{1}A_{2}B_{2}} = \frac{1}{2} B_{1}A_{2} \cdot A_{2}B_{2} \sin \angle B_{1}A_{2}B_{2} =$
$= \frac{1}{2} (a - x) x \sin \angle B_{1}A_{2}B_{2} = \frac{1}{2} \left ( \frac{a^{2}}{4} - \left ( x - \frac{a}{2} \right )^{2} \right ) \sin \angle B_{1}A_{2}B_{2}$
принимает наибольшее значение при $x = a/2$, т. е. когда $A_{1}B_{1} = B_{1}A_{2}$. Утверждение доказано.
