Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2939
2019-05-06 
Доказать, что при всяком целом $n > 1$:
а) $\frac{1}{2} < \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} < \frac{3}{4}$
б) $1 < \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{3n+1} < 2$.
Решение:
а) Прежде всего очевидно
$\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} > \underbrace { \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} + \cdots \frac{1}{2n}}_{n \:раз} = \frac{1}{2}$.
С другой стороны, имеем:
$\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \left [ \left ( \frac{1}{n} + \frac{1}{2n} \right ) + \left ( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2n-1} \right ) + \left ( \frac{1}{n+2} + \frac{1}{2n-2} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{2n} + \frac{1}{n} \right ) \right ] = \frac{1}{2} \left [ \frac{3n}{2n^2} + \frac {3n}{2n^2 + (n-1)} + \frac{3n}{2n^2 + 2(n-2)} + \cdots + \frac{3n}{2n^2} \right ] < \frac{1}{2} \left [ \underbrace { \frac{3n}{2n^2} + \frac{3n}{2n^2} + \cdots + \frac{3n}{2n^2}}_{(n + 1) \: раз} \right ] = \frac{1}{2} (n+1) \frac{3}{2n} = \frac{3}{4} + \frac{3}{4n} < \frac{3}{4} + \frac{1}{n}$,
откуда и вытекает второе утверждение задачи.
б) Отметим прежде всего, что
$\frac{1}{3n} + \frac{1}{3n+1} < \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} = \frac{1}{n}$.
Теперь получаем:
$\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{3n-1} + \left ( \frac{1}{3n} + \frac{1}{3n+1} \right ) < \underbrace { \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n} }_{2n - 1 \:раз} + \frac{1}{n} = \frac{2n}{n} = 2$.
С другой стороны, имеем:
$\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{3n+1} = \frac{1}{2} \left [ \left ( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{3n+1} \right ) + \left ( \frac{1}{n+2} + \frac{1}{3n} \right ) + \left ( \frac{1}{n+3} + \frac{1}{3n-1} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{3n+1} + \frac{1}{n+1} \right ) \right ] = \frac{1}{2} \left [ \frac {4n+2}{(2n+1)^2 - n^2} + \frac {4n+2}{(2n+1)^2 - (n-1)^2} + \frac {4n+2}{(2n+1)^2 - (n-2)^2} + \cdots + \frac {4n+2}{(2n+1)^2 - n^2} \right ] > \frac{1}{2} \left [ \underbrace {\frac {4n+2}{(2n+1)^2} + \frac {4n+2}{(n+1)^2} + \cdots + \frac {4n+2}{(2n+1)^2}}_{(2n+1) \: раз} \right ] = \frac{1}{2} (2n+1) \frac {4n+2}{(2n+1)^2} = 1$.
Доказать, что при всяком целом $n > 1$:
а) $\frac{1}{2} < \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} < \frac{3}{4}$
б) $1 < \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{3n+1} < 2$.
Решение:
а) Прежде всего очевидно
$\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} > \underbrace { \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} + \cdots \frac{1}{2n}}_{n \:раз} = \frac{1}{2}$.
С другой стороны, имеем:
$\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n} = \frac{1}{2} \left [ \left ( \frac{1}{n} + \frac{1}{2n} \right ) + \left ( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2n-1} \right ) + \left ( \frac{1}{n+2} + \frac{1}{2n-2} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{2n} + \frac{1}{n} \right ) \right ] = \frac{1}{2} \left [ \frac{3n}{2n^2} + \frac {3n}{2n^2 + (n-1)} + \frac{3n}{2n^2 + 2(n-2)} + \cdots + \frac{3n}{2n^2} \right ] < \frac{1}{2} \left [ \underbrace { \frac{3n}{2n^2} + \frac{3n}{2n^2} + \cdots + \frac{3n}{2n^2}}_{(n + 1) \: раз} \right ] = \frac{1}{2} (n+1) \frac{3}{2n} = \frac{3}{4} + \frac{3}{4n} < \frac{3}{4} + \frac{1}{n}$,
откуда и вытекает второе утверждение задачи.
б) Отметим прежде всего, что
$\frac{1}{3n} + \frac{1}{3n+1} < \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n} = \frac{1}{n}$.
Теперь получаем:
$\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{3n-1} + \left ( \frac{1}{3n} + \frac{1}{3n+1} \right ) < \underbrace { \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n} }_{2n - 1 \:раз} + \frac{1}{n} = \frac{2n}{n} = 2$.
С другой стороны, имеем:
$\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{3n+1} = \frac{1}{2} \left [ \left ( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{3n+1} \right ) + \left ( \frac{1}{n+2} + \frac{1}{3n} \right ) + \left ( \frac{1}{n+3} + \frac{1}{3n-1} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{3n+1} + \frac{1}{n+1} \right ) \right ] = \frac{1}{2} \left [ \frac {4n+2}{(2n+1)^2 - n^2} + \frac {4n+2}{(2n+1)^2 - (n-1)^2} + \frac {4n+2}{(2n+1)^2 - (n-2)^2} + \cdots + \frac {4n+2}{(2n+1)^2 - n^2} \right ] > \frac{1}{2} \left [ \underbrace {\frac {4n+2}{(2n+1)^2} + \frac {4n+2}{(n+1)^2} + \cdots + \frac {4n+2}{(2n+1)^2}}_{(2n+1) \: раз} \right ] = \frac{1}{2} (2n+1) \frac {4n+2}{(2n+1)^2} = 1$.
