Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2936
2019-05-06 
Доказать, что при $m > n$ ($m, n$ - целые положительные числа)
a) $\left ( 1 + \frac{1}{m} \right )^m > \left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^n$.
Так, например, $\left ( 1 + \frac{1}{2} \right )^2 = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$, а $\left ( 1 + \frac{1}{3} \right )^3 = \frac{64}{27} = 2 \frac{10}{27} > 2 \frac{1}{4}$,
б) $\left ( 1 + \frac{1}{m} \right )^{m+1} < \left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^{n+1} (n \geq 2)$
Так, например, $\left ( 1 + \frac{1}{2} \right )^3 = \frac{27}{8} = 3 \frac{3}{8}$ а $\left (1 + \frac{1}{3} \right )^4 = \frac{256}{81} = 3 \frac{13}{81} < 3 \frac{3}{8}$.
Из задачи а) следует, что в последовательности чисел $\left ( 1 + \frac{1}{1} \right )^1, \left ( 1 + \frac{1}{2} \right )^2, \left ( 1 + \frac{1}{3} \right )^3, \cdots, \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n, \cdots$ каждое последующее число больше предыдущего. А так как, с другой стороны, ни одно из чисел не превосходит 3 (см. задачу 2932), то при $n \rightarrow \infty$ величина $\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n$ стремится к некоторому определенному пределу (заключенному, очевидно, между 2 и 3). этот предел обозначается буквой $e$ приближенно он равен $2,718281828459045 \cdots$.
Аналогично, задача б) утверждает, что в последовательности чисел $\left ( 1 + \frac{1}{2} \right )^3, \left (1 + \frac{1}{3} \right )^4, \left (1 + \frac{1}{4} \right )^5, \cdots, \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n+1}, \cdots$ каждое последующее меньше предыдущего. А так как все эти числа больше 1, то величина $\left (1 + \frac{1}{n} \right )^{n+1}$ при $n$, неограниченно возрастающем, стремится к какому-то пределу. При этом числа второй последовательности все более приближаются к числам первой последовательности (отношение $\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n+1}: \left (1 + \frac{1}{n} \right )^n = 1 + \frac{1}{n}$ - все меньше отличается от 1); следовательно, этот предел должен равняться тому же самому числу $e$. Число $e$ играет в математике очень большую роль и встречается в самых разнообразных вопросах.
Решение:
а) По формуле бинома Ньютона имеем:
$\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n = 1 + C_n^1 \frac{1}{n} + C_n^2 \frac{1}{n^2} + \cdots + C_n^{n-1} \frac{1}{n^{n-1}} + \frac{1}{n^n} = 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \frac {n(n-1)}{2!} \frac{1}{n^2} + \frac {n(n-1)(n-2)}{3!} \frac{1}{n^3} + \cdots + \frac{n(n - 1) \cdots 2}{(n - 1)!} \frac{1}{n^{ n- 1} } + \frac{n(n - 1) \cdots 1}{n! } \frac{1}{n^{n} } = 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) + \frac{1}{3!} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{n} \right ) \cdots \left ( 1 - \frac{n - 1}{n} \right )$
и аналогично
$\left ( 1+ \frac{1}{n+1} \right )^{n+1} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left (1 - \frac{1}{n+1} \right ) + \frac{1}{3!} \left ( 1 - \frac{1}{n+1} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{n+1} \right ) + \cdots + \frac{1}{n!} \left ( 1 - \frac{1}{n+1} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{n+1} \right ) \cdots \left ( 1 - \frac{n-1}{n+1} \right ) + \frac{1}{(n+1)!} \left ( 1 - \frac{1}{n+1} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{n+1} \right ) \cdots \left ( 1- \frac{n-1}{n+1} \right ) \left ( 1 - \frac{n}{n+1} \right )$.
Из сравнения этих выражений сразу следует, что $\left (1 + \frac{1}{n+1} \right )^{n+1} > \left (1+ \frac{1}{n} \right )^n$ , откуда и вытекает утверждение задачи.
б) Составим отношение:
$\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n+1} \div \left ( 1 + \frac{1}{n - 1} \right )^n = \left ( \frac{n+1}{n} \right )^{n+1} \div \left ( \frac{n}{n-1} \right )^n = \frac {(n+1)^{n+1}(n-1)^n}{n^{2n+1}} = \left ( \frac{n^2-1}{n^2} \right )^n \cdot \frac{n+1}{n} = \left ( 1 - \frac{1}{n^2} \right )^n \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )$.
Но при $n \geq 2$
$\left ( 1 - \frac{1}{n^2} \right )^n = 1 - n \cdot \frac{1}{n^2} + \frac {n(n-1)}{2!} \frac{1}{n^4} - \frac {n(n-1)(n-2)}{3!} \frac{1}{n^6} + \frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!} \frac{1}{n^8} - \cdots = 1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{2} \frac{n-1}{n^3} - \left [ \frac{1}{3!} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{n} \right ) \frac{1}{n^3} - \frac{1}{4!} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{n} \right ) \left ( 1 - \frac{3}{n} \right ) \frac{1}{n^4} \right ] - \cdots \leq 1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{2} \frac{1}{n^2} - \frac{1}{2} \frac{1}{n^3}$.
С другой стороны,
$\left ( 1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{2} \frac{1}{n^2} - \frac{1}{2} \frac{1}{n^3} \right ) \left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) = 1 - \frac{1}{2} \frac{1}{n^2} - \frac{1}{2} \frac{1}{n^4} < 1$.
Следовательно, $\left ( 1 - \frac{1}{n^2} \right )^n \left ( 1+ \frac{1}{n} \right ) < 1$, и значит,
$\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n+1} \div \left ( 1 + \frac{1}{n-1} \right )^n < 1, \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n+1} < \left ( 1 + \frac{1}{n-1} \right )^n$,
откуда и следует, утверждение задачи.
Доказать, что при $m > n$ ($m, n$ - целые положительные числа)
a) $\left ( 1 + \frac{1}{m} \right )^m > \left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^n$.
Так, например, $\left ( 1 + \frac{1}{2} \right )^2 = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4}$, а $\left ( 1 + \frac{1}{3} \right )^3 = \frac{64}{27} = 2 \frac{10}{27} > 2 \frac{1}{4}$,
б) $\left ( 1 + \frac{1}{m} \right )^{m+1} < \left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^{n+1} (n \geq 2)$
Так, например, $\left ( 1 + \frac{1}{2} \right )^3 = \frac{27}{8} = 3 \frac{3}{8}$ а $\left (1 + \frac{1}{3} \right )^4 = \frac{256}{81} = 3 \frac{13}{81} < 3 \frac{3}{8}$.
Из задачи а) следует, что в последовательности чисел $\left ( 1 + \frac{1}{1} \right )^1, \left ( 1 + \frac{1}{2} \right )^2, \left ( 1 + \frac{1}{3} \right )^3, \cdots, \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n, \cdots$ каждое последующее число больше предыдущего. А так как, с другой стороны, ни одно из чисел не превосходит 3 (см. задачу 2932), то при $n \rightarrow \infty$ величина $\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n$ стремится к некоторому определенному пределу (заключенному, очевидно, между 2 и 3). этот предел обозначается буквой $e$ приближенно он равен $2,718281828459045 \cdots$.
Аналогично, задача б) утверждает, что в последовательности чисел $\left ( 1 + \frac{1}{2} \right )^3, \left (1 + \frac{1}{3} \right )^4, \left (1 + \frac{1}{4} \right )^5, \cdots, \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n+1}, \cdots$ каждое последующее меньше предыдущего. А так как все эти числа больше 1, то величина $\left (1 + \frac{1}{n} \right )^{n+1}$ при $n$, неограниченно возрастающем, стремится к какому-то пределу. При этом числа второй последовательности все более приближаются к числам первой последовательности (отношение $\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n+1}: \left (1 + \frac{1}{n} \right )^n = 1 + \frac{1}{n}$ - все меньше отличается от 1); следовательно, этот предел должен равняться тому же самому числу $e$. Число $e$ играет в математике очень большую роль и встречается в самых разнообразных вопросах.
Решение:
а) По формуле бинома Ньютона имеем:
$\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n = 1 + C_n^1 \frac{1}{n} + C_n^2 \frac{1}{n^2} + \cdots + C_n^{n-1} \frac{1}{n^{n-1}} + \frac{1}{n^n} = 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \frac {n(n-1)}{2!} \frac{1}{n^2} + \frac {n(n-1)(n-2)}{3!} \frac{1}{n^3} + \cdots + \frac{n(n - 1) \cdots 2}{(n - 1)!} \frac{1}{n^{ n- 1} } + \frac{n(n - 1) \cdots 1}{n! } \frac{1}{n^{n} } = 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) + \frac{1}{3!} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{n} \right ) \cdots \left ( 1 - \frac{n - 1}{n} \right )$
и аналогично
$\left ( 1+ \frac{1}{n+1} \right )^{n+1} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left (1 - \frac{1}{n+1} \right ) + \frac{1}{3!} \left ( 1 - \frac{1}{n+1} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{n+1} \right ) + \cdots + \frac{1}{n!} \left ( 1 - \frac{1}{n+1} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{n+1} \right ) \cdots \left ( 1 - \frac{n-1}{n+1} \right ) + \frac{1}{(n+1)!} \left ( 1 - \frac{1}{n+1} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{n+1} \right ) \cdots \left ( 1- \frac{n-1}{n+1} \right ) \left ( 1 - \frac{n}{n+1} \right )$.
Из сравнения этих выражений сразу следует, что $\left (1 + \frac{1}{n+1} \right )^{n+1} > \left (1+ \frac{1}{n} \right )^n$ , откуда и вытекает утверждение задачи.
б) Составим отношение:
$\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n+1} \div \left ( 1 + \frac{1}{n - 1} \right )^n = \left ( \frac{n+1}{n} \right )^{n+1} \div \left ( \frac{n}{n-1} \right )^n = \frac {(n+1)^{n+1}(n-1)^n}{n^{2n+1}} = \left ( \frac{n^2-1}{n^2} \right )^n \cdot \frac{n+1}{n} = \left ( 1 - \frac{1}{n^2} \right )^n \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )$.
Но при $n \geq 2$
$\left ( 1 - \frac{1}{n^2} \right )^n = 1 - n \cdot \frac{1}{n^2} + \frac {n(n-1)}{2!} \frac{1}{n^4} - \frac {n(n-1)(n-2)}{3!} \frac{1}{n^6} + \frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!} \frac{1}{n^8} - \cdots = 1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{2} \frac{n-1}{n^3} - \left [ \frac{1}{3!} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{n} \right ) \frac{1}{n^3} - \frac{1}{4!} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) \left ( 1 - \frac{2}{n} \right ) \left ( 1 - \frac{3}{n} \right ) \frac{1}{n^4} \right ] - \cdots \leq 1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{2} \frac{1}{n^2} - \frac{1}{2} \frac{1}{n^3}$.
С другой стороны,
$\left ( 1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{2} \frac{1}{n^2} - \frac{1}{2} \frac{1}{n^3} \right ) \left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) = 1 - \frac{1}{2} \frac{1}{n^2} - \frac{1}{2} \frac{1}{n^4} < 1$.
Следовательно, $\left ( 1 - \frac{1}{n^2} \right )^n \left ( 1+ \frac{1}{n} \right ) < 1$, и значит,
$\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n+1} \div \left ( 1 + \frac{1}{n-1} \right )^n < 1, \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{n+1} < \left ( 1 + \frac{1}{n-1} \right )^n$,
откуда и следует, утверждение задачи.
