Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2935
2019-05-06 
Доказать, что для любого целого $n > 6$
$\left ( \frac{n}{2} \right )^n > n! > \left ( \frac{n}{3} \right )^n$.
Решение:
Пусть неравенства задачи справедливы для некоторого $n$. Чтобы показать справедливость их для $n+1$, достаточно проверить справедливость следующих неравенств:
$\left ( \frac{n+1}{2} \right )^{n+1} \div \left ( \frac{n}{2} \right )^n \geq n + 1 \geq \left ( \frac{n+1}{3} \right )^{n+1} \div \left ( \frac{n}{3} \right )^n$.
После сокращения на $(n+1)$ эти неравенства приводятся к неравенствам $\frac{1}{2} \left (1 + \frac{1}{n} \right )^m \geq 1 \geq \frac{1}{3} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n$, которые следуют из неравенств $2 \leq \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n < 3$.
Остается только заметить, что для $n$, равного 6, утверждение задачи справедливо, ибо
$\left ( \frac{6}{2} \right )^6 = 3^6 = 729, \left ( \frac{6}{3} \right )^6 = 2^6 = 64$.
Доказать, что для любого целого $n > 6$
$\left ( \frac{n}{2} \right )^n > n! > \left ( \frac{n}{3} \right )^n$.
Решение:
Пусть неравенства задачи справедливы для некоторого $n$. Чтобы показать справедливость их для $n+1$, достаточно проверить справедливость следующих неравенств:
$\left ( \frac{n+1}{2} \right )^{n+1} \div \left ( \frac{n}{2} \right )^n \geq n + 1 \geq \left ( \frac{n+1}{3} \right )^{n+1} \div \left ( \frac{n}{3} \right )^n$.
После сокращения на $(n+1)$ эти неравенства приводятся к неравенствам $\frac{1}{2} \left (1 + \frac{1}{n} \right )^m \geq 1 \geq \frac{1}{3} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n$, которые следуют из неравенств $2 \leq \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n < 3$.
Остается только заметить, что для $n$, равного 6, утверждение задачи справедливо, ибо
$\left ( \frac{6}{2} \right )^6 = 3^6 = 729, \left ( \frac{6}{3} \right )^6 = 2^6 = 64$.
