ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
Доказать, что для любого целого положительного $n$

$2 \leq \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n < 3$.


Решение:


Докажем, что для любого целого положительного $k \leq n$

$1 + \frac{k}{n} \leq \left ( 1+ \frac{1}{n} \right )^k < 1 + \frac{k}{n} + \frac{k^2}{n^2}$.

Доказательство проведем методом индукции. Для $k = 1$ оно очевидно. Пусть теперь оно справедливо для некоторого $k$ докажем его для $к + 1$. Имеем:

$\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{k+1} = \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^k \left ( 1+ \frac{1}{n} \right ) \geq \left ( 1 + \frac{k}{n} \right ) \left (1 + \frac{1}{n} \right ) = 1 + \frac{k+1}{n} + \frac{k}{n^2} > 1 + \frac{k+1}{n}$;

заметим, что здесь мы не пользовались тем, что $k \leq n$. Следователь, но, это неравенство справедливо для любого целого положительного $k$. Полагая теперь $к \leq n$, получим:

$\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^{k+1} = \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^k \left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) < \left ( 1 + \frac{k}{n} + \frac{k^2}{n^2} \right ) \left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) = 1 + \frac{k+1}{n} + \frac {k^2 + 2k + 1}{n^2} - \frac{k+1}{n^2} + \frac{k^2}{n^2} = 1 + \frac{k+1}{n} + \frac{(k+1)^2}{n^2} - \frac {n(k+1) - k^2}{n^3} < 1 + \frac{k+1}{n} + \frac{(k+1)^2}{n^2}$,

ибо $n(k+1) > k^2$ при $n \geq k$.
Подставив в выведенные неравенства значение $k = n$, получим:

$2 = 1 + \frac{n}{n} \leq \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n < 1 + \frac{n}{n} + \frac{n^2}{n^2} = 3$.