Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2931
2019-05-06 
Что больше $100^{300}$ или 300!?
Решение:
Докажем предварительно, что произведение $n$ последовательных целых чисел больше чем квадратный корень из произведения крайних чисел в степени $n$. Обозначим эти числа через $a, a+1, \cdots, a+n - 1$. Тогда $k$-е число от начала будет $a+k-1$, $k$-e от конца $a+n-k$. Их произведение
$(a+k-1)(a+n - k) = a^2 + an - a + (k-1)(n-k) \geq a^2 + an - a = a(a+n-1)$,
где равенство может достигаться только при $k = 1$ или $k = n$. Другими словами, произведение двух чисел, равноотстоящих от концов (в случае нечетного $n$ эти два числа могут, в частности, оба равняться среднему числу), всегда больше чем произведение крайних. Но тогда произведение всех чисел
$a(a+1) \cdots (a+n-1) \geq [a(a+n-1)]^{ \frac{n}{2} } = [\sqrt {a(a+n-1)}]^n$,
где знак равенства имеет место только при $n = 1$ или $n = 2$. Докажем теперь, что $300! > 100^{300}$. Имеем:
$1 \cdot 2 \cdots 25 > \sqrt {25^{25}} = 5^{25}$;
$26 \cdots 50 > (\sqrt {26 \cdot 50})^{25} > 35^{25}$;
$51 \cdots 100 > (\sqrt {51 \cdot 100})^{50} > 70^{50}$;
$101 \cdots 200 > (\sqrt {100^{100}} \cdot \sqrt {200^{100}}) = 10^{200} \cdot 2^{50}$;
$201 \cdots 300 > (\sqrt {200^{100}} \cdot \sqrt {300^{100}}) = 10^{200} \cdot 2^{50} \cdot 3^{50}$.
Перемножая левые и правые части неравенств, получим:
$300! > 5^{25} \cdot 35^{25} \cdot 70^{50} \cdot 10^{400} \cdot 2^{100} \cdot 3^{50} = 5^{50} \cdot 7^{25} \cdot 5^{50} \cdot 14^{50} \cdot 10^{400} \cdot 2^{100} \cdot 3^{50} = 10^{500} \cdot 7^{25} \cdot 14^{50} \cdot 3^{50} = 10^{500} \cdot 21^{25} \cdot 42^{25} \cdot 14^{25} > 10^{500} \cdot 20^{25} \cdot 40^{25} \cdot 14^{25} = 10^{550} \cdot 2^{25} \cdot 4^{25} \cdot 14^{25} = 10^{550} \cdot 112^{25} = 10^{600} \cdot 1,12^{25} > 10^{500} = 100^{300}$.
Примечание. Более общий результат сформулирован в условии задачи 2935.
Ответ: 300!
Что больше $100^{300}$ или 300!?
Решение:
Докажем предварительно, что произведение $n$ последовательных целых чисел больше чем квадратный корень из произведения крайних чисел в степени $n$. Обозначим эти числа через $a, a+1, \cdots, a+n - 1$. Тогда $k$-е число от начала будет $a+k-1$, $k$-e от конца $a+n-k$. Их произведение
$(a+k-1)(a+n - k) = a^2 + an - a + (k-1)(n-k) \geq a^2 + an - a = a(a+n-1)$,
где равенство может достигаться только при $k = 1$ или $k = n$. Другими словами, произведение двух чисел, равноотстоящих от концов (в случае нечетного $n$ эти два числа могут, в частности, оба равняться среднему числу), всегда больше чем произведение крайних. Но тогда произведение всех чисел
$a(a+1) \cdots (a+n-1) \geq [a(a+n-1)]^{ \frac{n}{2} } = [\sqrt {a(a+n-1)}]^n$,
где знак равенства имеет место только при $n = 1$ или $n = 2$. Докажем теперь, что $300! > 100^{300}$. Имеем:
$1 \cdot 2 \cdots 25 > \sqrt {25^{25}} = 5^{25}$;
$26 \cdots 50 > (\sqrt {26 \cdot 50})^{25} > 35^{25}$;
$51 \cdots 100 > (\sqrt {51 \cdot 100})^{50} > 70^{50}$;
$101 \cdots 200 > (\sqrt {100^{100}} \cdot \sqrt {200^{100}}) = 10^{200} \cdot 2^{50}$;
$201 \cdots 300 > (\sqrt {200^{100}} \cdot \sqrt {300^{100}}) = 10^{200} \cdot 2^{50} \cdot 3^{50}$.
Перемножая левые и правые части неравенств, получим:
$300! > 5^{25} \cdot 35^{25} \cdot 70^{50} \cdot 10^{400} \cdot 2^{100} \cdot 3^{50} = 5^{50} \cdot 7^{25} \cdot 5^{50} \cdot 14^{50} \cdot 10^{400} \cdot 2^{100} \cdot 3^{50} = 10^{500} \cdot 7^{25} \cdot 14^{50} \cdot 3^{50} = 10^{500} \cdot 21^{25} \cdot 42^{25} \cdot 14^{25} > 10^{500} \cdot 20^{25} \cdot 40^{25} \cdot 14^{25} = 10^{550} \cdot 2^{25} \cdot 4^{25} \cdot 14^{25} = 10^{550} \cdot 112^{25} = 10^{600} \cdot 1,12^{25} > 10^{500} = 100^{300}$.
Примечание. Более общий результат сформулирован в условии задачи 2935.
Ответ: 300!
