Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2930
2019-05-06 
Что больше $99^n + 100^n$ или $101^n$ ($n$ -целое положительное число)?
Решение:
Требуется определить, что больше: $101^n - 99^n$ или $100^n$.
Составим отношение
$\frac {101^n - 99^n}{100^n} = \frac {(100+1)^n - (100-1)^n}{100^n} = \frac {2(C_n^1 \cdot 100^{n-1} + C_n^3 \cdot 100^{n-3} + \cdots}{100^n} = 2 \left ( \frac{n}{100} + \frac {n(n-1)(n-2)}{31 \cdot 100^3} + \cdots \right )$.
Отсюда сразу ясно, что это отношение больше 1 при $n \geq 50$. Покажем, что при $n = 49$ оно тоже больше 1:
$2 \left ( \frac{49}{100} + \frac {49 \cdot 48 \cdot 47}{31 \cdot 100^3} + \cdots \right ) > 2 \left ( \frac{49}{100} + \frac{18424}{100^3} \right ) > 2 \left ( \frac{49}{100} + \frac{100^2}{100^3} \right ) = 1$.
Покажем теперь, что при $n = 48$ наше отношение будет уже меньше 1. Действительно,
$2 \left ( \frac{48}{100} + \frac {48 \cdot 47 \cdot 46}{3! \cdot 100^3} + \frac {48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{5! \cdot 100^5} + \cdots \right ) < 2 \left ( \frac{48}{100} + \frac {48^3}{(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot 100^3} + \frac {48^5}{(1 \cdot 2 \cdot 3)(2 \cdot 3) 100^5} + \frac {48^7}{(1 \cdot 2 \cdot 3)(2 \cdot 3)(2 \cdot 3) 100^7} + \cdots \right ) = 2 \left ( \frac{48}{100} + \frac{1}{6} \left ( \frac{48}{100} \right )^3 + \frac{1}{6^2} \left ( \frac{48}{100} \right )^5 + \cdots \right ) < 2 \frac { \frac{48}{100}}{1 - \frac{1}{6} \left ( \frac{48}{100} \right )^2} = \frac{9600}{9616} < 1$.
Тем более, при $n < 48$ отношение будет меньше 1.
Итак, окончательно получаем: $99^n + 100^n$ больше чем $101^n$ при $n \leq 48$ и меньше чем $101^n$ при $n > 48$.
Ответ: $99^n + 100^n$ больше, чем $101^n$ при $n \leq 48$, и меньше, чем $101^n$ при $n > 48$.
Что больше $99^n + 100^n$ или $101^n$ ($n$ -целое положительное число)?
Решение:
Требуется определить, что больше: $101^n - 99^n$ или $100^n$.
Составим отношение
$\frac {101^n - 99^n}{100^n} = \frac {(100+1)^n - (100-1)^n}{100^n} = \frac {2(C_n^1 \cdot 100^{n-1} + C_n^3 \cdot 100^{n-3} + \cdots}{100^n} = 2 \left ( \frac{n}{100} + \frac {n(n-1)(n-2)}{31 \cdot 100^3} + \cdots \right )$.
Отсюда сразу ясно, что это отношение больше 1 при $n \geq 50$. Покажем, что при $n = 49$ оно тоже больше 1:
$2 \left ( \frac{49}{100} + \frac {49 \cdot 48 \cdot 47}{31 \cdot 100^3} + \cdots \right ) > 2 \left ( \frac{49}{100} + \frac{18424}{100^3} \right ) > 2 \left ( \frac{49}{100} + \frac{100^2}{100^3} \right ) = 1$.
Покажем теперь, что при $n = 48$ наше отношение будет уже меньше 1. Действительно,
$2 \left ( \frac{48}{100} + \frac {48 \cdot 47 \cdot 46}{3! \cdot 100^3} + \frac {48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45 \cdot 44}{5! \cdot 100^5} + \cdots \right ) < 2 \left ( \frac{48}{100} + \frac {48^3}{(1 \cdot 2 \cdot 3) \cdot 100^3} + \frac {48^5}{(1 \cdot 2 \cdot 3)(2 \cdot 3) 100^5} + \frac {48^7}{(1 \cdot 2 \cdot 3)(2 \cdot 3)(2 \cdot 3) 100^7} + \cdots \right ) = 2 \left ( \frac{48}{100} + \frac{1}{6} \left ( \frac{48}{100} \right )^3 + \frac{1}{6^2} \left ( \frac{48}{100} \right )^5 + \cdots \right ) < 2 \frac { \frac{48}{100}}{1 - \frac{1}{6} \left ( \frac{48}{100} \right )^2} = \frac{9600}{9616} < 1$.
Тем более, при $n < 48$ отношение будет меньше 1.
Итак, окончательно получаем: $99^n + 100^n$ больше чем $101^n$ при $n \leq 48$ и меньше чем $101^n$ при $n > 48$.
Ответ: $99^n + 100^n$ больше, чем $101^n$ при $n \leq 48$, и меньше, чем $101^n$ при $n > 48$.
