Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2928
2019-05-06 
Среди всех чисел вида $36^m - 5^n$, где $m$ и $n$ - натуральные числа, найти наименьшее по абсолютной величине.
Решение:
Так как $36^m$ при любом натуральном $m$ кончается цифрой 6, а $5^n$ при любом натуральном $n$ кончается цифрой 5, то при $36^m > 5n$ разность $36^m – 5^n$ оканчивается цифрой 1, а при $36^m < 5^n$ разность $36^m – 5^n$ оканчивается цифрой 9; поэтому десятичная запись числа $N = |36^m - 5^n|$ может кончаться лишь цифрами 1 и 9, и наименьшие возможные значения его - это 1, 9 и 11. Но при $m = 1$, $n = 2$, очевидно, $N = 11$; покажем, что равенства $N = 9$ и $N = 1$ невозможны, т. е., что значение $N = 11$ и является наименьшим. В самом деле, из равенства $5n - 36^m = 9$ вытекало бы, что $5n = 36^m + 9$ кратно 9, что невозможно; из равенства же $36^m - 5n = 1$ вытекало бы, что $5^n = 36^m - 1 = 6^{2m-1} = (6^m + 1)(6^m - 1)$, т. е. что $6^m - 1 = 5^k$, a $6^m + 1 = 5^{n-k}$. Но число $6^m + 1$ оканчивается цифрой 7 - и никак не может быть степенью 5, что и требовалось доказать.
Ответ: $\pm 11$.
Среди всех чисел вида $36^m - 5^n$, где $m$ и $n$ - натуральные числа, найти наименьшее по абсолютной величине.
Решение:
Так как $36^m$ при любом натуральном $m$ кончается цифрой 6, а $5^n$ при любом натуральном $n$ кончается цифрой 5, то при $36^m > 5n$ разность $36^m – 5^n$ оканчивается цифрой 1, а при $36^m < 5^n$ разность $36^m – 5^n$ оканчивается цифрой 9; поэтому десятичная запись числа $N = |36^m - 5^n|$ может кончаться лишь цифрами 1 и 9, и наименьшие возможные значения его - это 1, 9 и 11. Но при $m = 1$, $n = 2$, очевидно, $N = 11$; покажем, что равенства $N = 9$ и $N = 1$ невозможны, т. е., что значение $N = 11$ и является наименьшим. В самом деле, из равенства $5n - 36^m = 9$ вытекало бы, что $5n = 36^m + 9$ кратно 9, что невозможно; из равенства же $36^m - 5n = 1$ вытекало бы, что $5^n = 36^m - 1 = 6^{2m-1} = (6^m + 1)(6^m - 1)$, т. е. что $6^m - 1 = 5^k$, a $6^m + 1 = 5^{n-k}$. Но число $6^m + 1$ оканчивается цифрой 7 - и никак не может быть степенью 5, что и требовалось доказать.
Ответ: $\pm 11$.
