Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2927
2019-05-06 
Доказать, что в десятичной системе счисления записи чисел $1974^n$ и $1974^n + 2^n$ при любом натуральном $n$ содержат одинаковое количество цифр.
Решение:
Пусть запись числа $1974^n$ содержит $k$ цифр; это означает, что $10^{k-1} \leq 1974^n < 10^k$. (Так как $1974^n > 1000^n = 10^3n$, то ясно, что $k \geq 3n$.) Если запись числа $1974^n + 2^n$ содержит больше чем $k$ цифр, то $1974^n + 2^n > 10^k$. Но поскольку $1974^n = 2^n \cdot 987^n$, а $1974^n + 2^n = 2^n, (987^n + 1)$, то мы имеем, сокращая соответствуйте неравенства на $2^n$,
$987^n < 2^{k-n} \cdot 5^k$, а $987^n + 1 \geq 2^{k-n} \cdot 5^k$,
что возможно только, если $987^n + 1 = 2^{k-n} \cdot 5^k$ (а $987^n = 2^{k-n} \cdot 5^k - 1$).
Так как $k-n \geq 3n - n$, то при $n > 2$ число $2^{k-n} \cdot 5^n$ кратно 8 (и даже 16). С другой стороны, 987 дает при делении на 8 остаток 3; поэтому $987^n$ дает при делении на 8 тот же остаток, что и $3^n$. Но возводя последовательно 3 в степени $1, 2, 3, \cdots$ и заменяя каждый раз само число остатком от его деления на 8, мы получим, что, степени тройки дают при делении на 8 чередующийся ряд остатков: $3, 1, 3, 1; 3, 1; \cdots$; поэтому число $987^n + 1$ может при делении на 8 давать лишь остатки 4 и 2 - и никогда не разделится на 8 без остатка. Полученное противоречие и доказывает утверждение задачи.
Доказать, что в десятичной системе счисления записи чисел $1974^n$ и $1974^n + 2^n$ при любом натуральном $n$ содержат одинаковое количество цифр.
Решение:
Пусть запись числа $1974^n$ содержит $k$ цифр; это означает, что $10^{k-1} \leq 1974^n < 10^k$. (Так как $1974^n > 1000^n = 10^3n$, то ясно, что $k \geq 3n$.) Если запись числа $1974^n + 2^n$ содержит больше чем $k$ цифр, то $1974^n + 2^n > 10^k$. Но поскольку $1974^n = 2^n \cdot 987^n$, а $1974^n + 2^n = 2^n, (987^n + 1)$, то мы имеем, сокращая соответствуйте неравенства на $2^n$,
$987^n < 2^{k-n} \cdot 5^k$, а $987^n + 1 \geq 2^{k-n} \cdot 5^k$,
что возможно только, если $987^n + 1 = 2^{k-n} \cdot 5^k$ (а $987^n = 2^{k-n} \cdot 5^k - 1$).
Так как $k-n \geq 3n - n$, то при $n > 2$ число $2^{k-n} \cdot 5^n$ кратно 8 (и даже 16). С другой стороны, 987 дает при делении на 8 остаток 3; поэтому $987^n$ дает при делении на 8 тот же остаток, что и $3^n$. Но возводя последовательно 3 в степени $1, 2, 3, \cdots$ и заменяя каждый раз само число остатком от его деления на 8, мы получим, что, степени тройки дают при делении на 8 чередующийся ряд остатков: $3, 1, 3, 1; 3, 1; \cdots$; поэтому число $987^n + 1$ может при делении на 8 давать лишь остатки 4 и 2 - и никогда не разделится на 8 без остатка. Полученное противоречие и доказывает утверждение задачи.
