Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2924
2019-05-06 
а) Доказать, что
$\frac{1}{15} < \frac{1}{10 \sqrt{2}} < \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{99}{100} < \frac{1}{10}$.
б) Доказать, что
$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \cdots \cdot \frac{99}{100} < \frac{1}{12}$
Примечание Результат задачи б), очевидно, представляет собой усиление результата задачи а).
Решение:
а) Первое решение. Обозначим произведение $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{99}{100}$ через $А$ и рассмотрим еще произведение $B = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots \frac{98}{99}$. Так как
$\frac{2}{3} > \frac{1}{2}, \frac{4}{5} > \frac{3}{4}, \frac{6}{7} > \frac{5}{6}, \cdots, \frac{98}{99} > \frac{97}{98}, 1 > \frac{99}{100}$,
то $В > А$. Но
$A \cdot B = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7} \cdots \frac{98}{99} \cdot \frac{99}{100} = \frac{1}{100}$
Отсюда следует, что
$A^2 < AB = \frac{1}{100}$, а значит, $A < \frac{1}{10}$.
Далее, $B < 2A = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{8} \cdots \frac{99}{100}$, ибо
$\frac{2}{3} < \frac{3}{4}, \frac{4}{5} < \frac{5}{6}, \frac{6}{7} < \frac{7}{8}, \cdots, \frac{98}{99} < \frac{99}{100}$.
Следовательно,
$A \cdot 2A > AB = \frac{1}{100}$ и, значит, $A > \frac{1}{10 \sqrt{2}}$.
Второе решение. Обозначим, как выше,
$\frac{1}{2} \cdot \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{99}{100} = A$.
Тогда
$A^2 = \frac{1^2}{2^2} \cdot \frac{3^2}{4^2} \cdot \frac{5^2}{6^2} \cdots \frac{99^2}{100^2}$,
откуда
$\frac{1^2}{2^2} \cdot \frac{3^2-1}{4^2} \cdot \frac{5^2 - 1}{6^2} \cdots \frac{99^2 - 1}{100^2} < A^2 < \frac{1^2}{2^2-1} \cdot \frac{3^2}{4^2 - 1} \cdot \frac{5^2}{6^2 - 1} \cdots \frac{99^2}{100^2 - 1}$.
Разлагая теперь числители дробей слева и знаменатели дробей справа по формуле разности квадратов, получим:
$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot 6}{6 \cdot 6} \cdots \frac{98 \cdot 100}{100 \cdot 100} < A^2 < \frac{1}{1 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 5} \cdot \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 7} \cdots \frac{99 \cdot 99}{99 \cdot 101}$
или после сокращения
$\frac{1}{200} < A^2 < \frac{1}{101}; \frac{1}{10 \sqrt{2}} < A < \frac{1}{ \sqrt{101}} < \frac{1}{10}$,
что и требовалось доказать.
а) Доказать, что
$\frac{1}{15} < \frac{1}{10 \sqrt{2}} < \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{99}{100} < \frac{1}{10}$.
б) Доказать, что
$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \cdots \cdot \frac{99}{100} < \frac{1}{12}$
Примечание Результат задачи б), очевидно, представляет собой усиление результата задачи а).
Решение:
а) Первое решение. Обозначим произведение $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{99}{100}$ через $А$ и рассмотрим еще произведение $B = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdots \frac{98}{99}$. Так как
$\frac{2}{3} > \frac{1}{2}, \frac{4}{5} > \frac{3}{4}, \frac{6}{7} > \frac{5}{6}, \cdots, \frac{98}{99} > \frac{97}{98}, 1 > \frac{99}{100}$,
то $В > А$. Но
$A \cdot B = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{7} \cdots \frac{98}{99} \cdot \frac{99}{100} = \frac{1}{100}$
Отсюда следует, что
$A^2 < AB = \frac{1}{100}$, а значит, $A < \frac{1}{10}$.
Далее, $B < 2A = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{7}{8} \cdots \frac{99}{100}$, ибо
$\frac{2}{3} < \frac{3}{4}, \frac{4}{5} < \frac{5}{6}, \frac{6}{7} < \frac{7}{8}, \cdots, \frac{98}{99} < \frac{99}{100}$.
Следовательно,
$A \cdot 2A > AB = \frac{1}{100}$ и, значит, $A > \frac{1}{10 \sqrt{2}}$.
Второе решение. Обозначим, как выше,
$\frac{1}{2} \cdot \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{99}{100} = A$.
Тогда
$A^2 = \frac{1^2}{2^2} \cdot \frac{3^2}{4^2} \cdot \frac{5^2}{6^2} \cdots \frac{99^2}{100^2}$,
откуда
$\frac{1^2}{2^2} \cdot \frac{3^2-1}{4^2} \cdot \frac{5^2 - 1}{6^2} \cdots \frac{99^2 - 1}{100^2} < A^2 < \frac{1^2}{2^2-1} \cdot \frac{3^2}{4^2 - 1} \cdot \frac{5^2}{6^2 - 1} \cdots \frac{99^2}{100^2 - 1}$.
Разлагая теперь числители дробей слева и знаменатели дробей справа по формуле разности квадратов, получим:
$\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot 6}{6 \cdot 6} \cdots \frac{98 \cdot 100}{100 \cdot 100} < A^2 < \frac{1}{1 \cdot 3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 5} \cdot \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 7} \cdots \frac{99 \cdot 99}{99 \cdot 101}$
или после сокращения
$\frac{1}{200} < A^2 < \frac{1}{101}; \frac{1}{10 \sqrt{2}} < A < \frac{1}{ \sqrt{101}} < \frac{1}{10}$,
что и требовалось доказать.
