Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2923
2019-05-06 
Сколько цифр имеет число $2^{100}$?
Решение:
Легко проверить, что $2^{10} = 1024$; таким образом, $2^{100} = 1024^{10}$. Так как $1000^{10} = 10^{30}$ представляет собой число, составленное из единицы с 30 нулями, а $1024^{10} > 1000^{10}$, то число $2^{100} = 1024^{10}$ не может иметь меньше 31 цифры. С другой стороны,
$\frac{1024^{10}}{1000^{10}} < \left ( \frac{1025}{1000} \right )^{10} = \left ( \frac{41}{40} \right )^{10} = \frac{41}{40} \cdot \frac{41}{40}\frac{41}{40} \cdot \frac{41}{40}\frac{41}{40} \cdot \frac{41}{40}\frac{41}{40} \cdot \frac{41}{40}\frac{41}{40} \cdot \frac{41}{40} <
\frac{41}{40} \cdot \frac{40}{39} \frac{39}{38} \cdot \frac{38}{37} \frac{37}{36} \cdot \frac{36}{35} \frac{35}{34} \cdot \frac{34}{33} \frac{33}{32} \cdot \frac{32}{31} = \frac{41}{21} <10$,
так как $\frac{41}{40} < \frac{40}{39} < \frac{39}{38} \cdots$, и т. д.
(ибо $\frac{41}{40} = 1 + \frac{1}{40}; \frac{40}{39} = 1 + \frac{1}{39}$ и т.д).
Таким образом,
$2^{100} = 1024^{10} < 10 \cdot 1000^{10}$,
откуда следует, что $2^{100}$ содержит меньше 32 цифр. Итак, число $2^{100}$ состоит из 31 цифры.
Примечание. Эту задачу очень легко решить, если пользоваться логарифмами: так как $log 2 = 0,30103$, то $log 2^{100} = 100 log 2 = 30,103$ и, следовательно, число $2^{100}$ имеет 31 цифру. Смысл задачи состоит в том, чтобы получить этот результат, не пользуясь логарифмами.
Сколько цифр имеет число $2^{100}$?
Решение:
Легко проверить, что $2^{10} = 1024$; таким образом, $2^{100} = 1024^{10}$. Так как $1000^{10} = 10^{30}$ представляет собой число, составленное из единицы с 30 нулями, а $1024^{10} > 1000^{10}$, то число $2^{100} = 1024^{10}$ не может иметь меньше 31 цифры. С другой стороны,
$\frac{1024^{10}}{1000^{10}} < \left ( \frac{1025}{1000} \right )^{10} = \left ( \frac{41}{40} \right )^{10} = \frac{41}{40} \cdot \frac{41}{40}\frac{41}{40} \cdot \frac{41}{40}\frac{41}{40} \cdot \frac{41}{40}\frac{41}{40} \cdot \frac{41}{40}\frac{41}{40} \cdot \frac{41}{40} <
\frac{41}{40} \cdot \frac{40}{39} \frac{39}{38} \cdot \frac{38}{37} \frac{37}{36} \cdot \frac{36}{35} \frac{35}{34} \cdot \frac{34}{33} \frac{33}{32} \cdot \frac{32}{31} = \frac{41}{21} <10$,
так как $\frac{41}{40} < \frac{40}{39} < \frac{39}{38} \cdots$, и т. д.
(ибо $\frac{41}{40} = 1 + \frac{1}{40}; \frac{40}{39} = 1 + \frac{1}{39}$ и т.д).
Таким образом,
$2^{100} = 1024^{10} < 10 \cdot 1000^{10}$,
откуда следует, что $2^{100}$ содержит меньше 32 цифр. Итак, число $2^{100}$ состоит из 31 цифры.
Примечание. Эту задачу очень легко решить, если пользоваться логарифмами: так как $log 2 = 0,30103$, то $log 2^{100} = 100 log 2 = 30,103$ и, следовательно, число $2^{100}$ имеет 31 цифру. Смысл задачи состоит в том, чтобы получить этот результат, не пользуясь логарифмами.
