Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2921
2019-05-06 
Указать все такие числа $\alpha$, что числа $[ \alpha ], [2 \alpha ], [3 \alpha ], \cdots, [N \alpha]$, где $N$ - фиксированное натуральное число, все различны и числа $\left [ \frac{1}{ \alpha} \right ], \left [ \frac{2}{ \alpha} \right ], \left [ \frac{3}{ \alpha} \right ], \cdots, \left [ \frac{N}{a} \right ],$, тоже все различны.
Решение:
Пусть $\alpha > 0$. Ясно, что значение $\alpha = 1$ удовлетворяет условию задачи; если же $\alpha > 1$ и, соответственно $\frac{1}{ \alpha} = \beta < 1$, то $[\alpha], [2\alpha], [3 \alpha], \cdots [N \alpha]$ все различны между собой - и нам лишь надо, чтобы были все различны числа $[\beta], [2\beta], [3 \beta], \cdots [N \beta]$. Но поскольку $[N \beta] \leq N \beta < N$, то $[N \beta] \leq N - 1$ - и единственная возможность для $N$ неотрицательных чисел $[\beta], [2 \beta], \cdots, [N \beta]$ принимать $N$ различных значений доставляется равенствами
$[\beta] = 0, [2 \beta] = 1, [3 \beta] = 2, \cdots, [N \beta] = N - 1$. (*)
А так как равенство $[k \beta] = k - 1$ равносильно неравенствам $k-1 \leq k \beta < k$, т. е.
$1 - \frac{1}{k} \leq \beta < 1 (k = 1,2, \cdots, N)$, (**)
то система равенств (*) равносильна неравенствам (**), т. е. двойному неравенству
$1 - \frac{1}{N} \leq \beta < 1$
Итак, если $\alpha > 1$, то $\frac{N-1}{N} \leq \beta = \frac{1}{ \alpha} < 1$ и, значит, $1 < \alpha \leq \frac{N}{N-1}$, а если $\alpha < 1$, то $\frac{N-1}{N} \leq \alpha < 1$ (мы это, по существу, уже выше доказали). Присоединяя сюда значение $\alpha = 1$, заключаем, что при $\alpha > 0$ должно быть $\frac{N-1}{N} \leq \alpha \leq \frac{N}{N-1}$; аналогично этому устанавливается, что при $\alpha < 0$ должно быть $- \frac{N-1}{N} \geq \alpha \geq - \frac{N}{N-1}$.
Указать все такие числа $\alpha$, что числа $[ \alpha ], [2 \alpha ], [3 \alpha ], \cdots, [N \alpha]$, где $N$ - фиксированное натуральное число, все различны и числа $\left [ \frac{1}{ \alpha} \right ], \left [ \frac{2}{ \alpha} \right ], \left [ \frac{3}{ \alpha} \right ], \cdots, \left [ \frac{N}{a} \right ],$, тоже все различны.
Решение:
Пусть $\alpha > 0$. Ясно, что значение $\alpha = 1$ удовлетворяет условию задачи; если же $\alpha > 1$ и, соответственно $\frac{1}{ \alpha} = \beta < 1$, то $[\alpha], [2\alpha], [3 \alpha], \cdots [N \alpha]$ все различны между собой - и нам лишь надо, чтобы были все различны числа $[\beta], [2\beta], [3 \beta], \cdots [N \beta]$. Но поскольку $[N \beta] \leq N \beta < N$, то $[N \beta] \leq N - 1$ - и единственная возможность для $N$ неотрицательных чисел $[\beta], [2 \beta], \cdots, [N \beta]$ принимать $N$ различных значений доставляется равенствами
$[\beta] = 0, [2 \beta] = 1, [3 \beta] = 2, \cdots, [N \beta] = N - 1$. (*)
А так как равенство $[k \beta] = k - 1$ равносильно неравенствам $k-1 \leq k \beta < k$, т. е.
$1 - \frac{1}{k} \leq \beta < 1 (k = 1,2, \cdots, N)$, (**)
то система равенств (*) равносильна неравенствам (**), т. е. двойному неравенству
$1 - \frac{1}{N} \leq \beta < 1$
Итак, если $\alpha > 1$, то $\frac{N-1}{N} \leq \beta = \frac{1}{ \alpha} < 1$ и, значит, $1 < \alpha \leq \frac{N}{N-1}$, а если $\alpha < 1$, то $\frac{N-1}{N} \leq \alpha < 1$ (мы это, по существу, уже выше доказали). Присоединяя сюда значение $\alpha = 1$, заключаем, что при $\alpha > 0$ должно быть $\frac{N-1}{N} \leq \alpha \leq \frac{N}{N-1}$; аналогично этому устанавливается, что при $\alpha < 0$ должно быть $- \frac{N-1}{N} \geq \alpha \geq - \frac{N}{N-1}$.
