ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Пусть $A_{i}H_{i} (i = 1, 2, 3)$ - высоты треугольника $A_{1}A_{2}A_{3}$, площадь которого равна $S$. Доказать, что треугольник $A_{1}A_{2}A_{3}$ равносторонний тогда и только тогда, когда
$S = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^{3}A_{i}A_{i+1} \cdot A_{i}H_{i} (A_{4} = A_{1})$.


Решение:


Положим
$a_{1} = A_{2}A_{3}, a_{2} = A_{1}A_{3}, a_{3} = A_{1}A_{2},$
$h_{1} = A_{1}H_{1}, h_{2} = A_{2}H_{2}, h_{3} = A_{3}H_{3},$
тогда справедливы равенства
$a_{3}h_{1} + a_{1}h_{2} + a_{2}h_{3} = a_{1}h_{1} \frac{a_{3}}{a_{1}} + a_{2}h_{2} \frac{a_{1}}{a_{2}} + a_{3}h_{3} \frac{a_{2}}{a_{3}} = 2S \left ( \frac{a_{3}}{a_{1}} + \frac{a_{1}}{a_{2}} + \frac{a_{2}}{a_{3}} \right )$.
По теореме о средних имеем оценку $\frac{a_{3}}{a_{1}} + \frac{a_{1}}{a_{2}} + \frac{a_{2}}{a_{3}} \geq 3$, в которой равенство достигается тогда и только тогда, когда
$\frac{a_{3}}{a_{1}} = \frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{a_{2}}{a_{3}}$, т.е. $a_{1} = a_{2} = a_{3}$.
Поэтому условие
$a_{3}h_{1} + a_{1}h_{2} + a_{2}h_{3} = 6S$
равносильно условию $a_{1} = a_{2} = a_{3}$, что и требовалось доказать.