Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2917
2019-05-06 
Существует ли такое целое положительное число $n$, что «дробная часть» числа $(2+ \sqrt{2})^n$, т. е. разность
$\{(2 + \sqrt{2})^n \} = (2+ \sqrt{2})^n - [(2 + \sqrt{2})^n]$,
больше 0,999999?
Решение:
Очевидно, что $(2 + \sqrt{2})^n + (2 - \sqrt{2})^n$ есть целое число; действительно, если $(2 + \sqrt{2})^n = a_n + b_n \sqrt{2}$, где $a_n$ и $b_n$ - целые числа, то $(2 - \sqrt{2})^n = a_n - b_n \sqrt{2}$ (это вытекает из формулы бинома Ньютона, а также может быть доказано методом математической индукции). Так как $(2 - \sqrt{2})^n < 1$, то отсюда следует, что
$[(2 + \sqrt{2})^n] = (2 + \sqrt{2})^n + (2 - \sqrt{2})^n - 1$
и, следовательно,
$(2 + \sqrt{2})^n - [(2 + \sqrt{2})^n] = 1 - (2 - \sqrt{2})^n$.
Но так как $(2 - \sqrt{2}) < 1$, то, взяв степень $n$ достаточно большой, можно сделать выражение $(2 - \sqrt{2})^n$ сколь угодно малым. А если $(2 - \sqrt{2})^n < 0,000001$, то
$(2 + \sqrt{2})^n - [(2 + \sqrt{2})^n] = 1 - (2 - \sqrt{2})^n > 0,999999$.
Существует ли такое целое положительное число $n$, что «дробная часть» числа $(2+ \sqrt{2})^n$, т. е. разность
$\{(2 + \sqrt{2})^n \} = (2+ \sqrt{2})^n - [(2 + \sqrt{2})^n]$,
больше 0,999999?
Решение:
Очевидно, что $(2 + \sqrt{2})^n + (2 - \sqrt{2})^n$ есть целое число; действительно, если $(2 + \sqrt{2})^n = a_n + b_n \sqrt{2}$, где $a_n$ и $b_n$ - целые числа, то $(2 - \sqrt{2})^n = a_n - b_n \sqrt{2}$ (это вытекает из формулы бинома Ньютона, а также может быть доказано методом математической индукции). Так как $(2 - \sqrt{2})^n < 1$, то отсюда следует, что
$[(2 + \sqrt{2})^n] = (2 + \sqrt{2})^n + (2 - \sqrt{2})^n - 1$
и, следовательно,
$(2 + \sqrt{2})^n - [(2 + \sqrt{2})^n] = 1 - (2 - \sqrt{2})^n$.
Но так как $(2 - \sqrt{2}) < 1$, то, взяв степень $n$ достаточно большой, можно сделать выражение $(2 - \sqrt{2})^n$ сколь угодно малым. А если $(2 - \sqrt{2})^n < 0,000001$, то
$(2 + \sqrt{2})^n - [(2 + \sqrt{2})^n] = 1 - (2 - \sqrt{2})^n > 0,999999$.
