Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2913
2019-05-06 
Доказать следующие свойства целой части числа:
1) $[x + y] \geq [x] + [y]$;
2) $\left [ \frac{[x]}{n} \right ] = \left [ \frac{x}{n} \right ]$, $n$ - целое число?
3) $\left [ x + \frac{1}{2} \right ] = [2x] - [x]$;
4) $[x] + \left [ x + \frac{1}{n} \right ] + \left [ x + \frac{2}{n} \right ] + \cdots + \left [x + \frac{n-1}{n} \right ] = [nx]$.
Решение:
1) Пусть $x$ - любое действительное число. Тогда его можно представить в виде суммы $x = |x| + \alpha$, где $\alpha$ - неотрицательное число меньшее единицы. Представим теперь $у$ в виде $y = [y] + \beta (0 \leq \beta < 1)$. Тогда $x + y = [x] + [y] + \alpha + \beta$. Так как $\alpha + \beta \geq 0$, то из этого равенства видно, что $[x] + [y]$ есть целое число, не превосходящее $x + y$. А так как $[x+y]$ есть наибольшее из таких целых чисел, то $[x+y] \geq [x] + [y]$.
2) Первое решение. Представим $x$ в виде $[x] + \alpha$, где $0 \leq \alpha < 1$. Пусть целое число $[х]$ при делении на $n$ дает в частном $q$ и в остатке $r$, т. е. $[x] = qn + r (0 \leq r \leq n - 1$. В таком случае имеем:
$\frac{[x]}{n} = q + \frac{r}{n}, \left [ \frac{[x]}{n} \right ] = q, x = qn + r + \alpha = qn + r_1$,
где $r_1 = r + \alpha < n, \frac{x}{n} = q + \frac{r_1}{n}, \left [ \frac{x}{n} \right ] = q = \left [ \frac{[x]}{n} \right ]$, что и требовалось доказать.
Второе решение. Рассмотрим все целые числа, делящиеся на $n$ и не большие $x$. Их число, очевидно равно $\left [ \frac{x}{n} \right ]$. Рассмотрим также все целые числа, делящиеся на $n$ и не большие $[x]$. Их число равно $\left [ \frac{[x]}{n} \right ]$. Но так как это - одни и те же числа, то их количеств равны; следовательно, $\left [ \frac{[x]}{n} \right ] = \left [ \frac{x}{n} \right ]$.
3) Если $(x) = [x]$ (т. е. $x - [x] < \frac{1}{2}$, то $\left [ x + \frac{1}{2} \right ] = [x]; [2x] = 2 [x]$ и $[2x] - [x] = 2[x] - [x] = [x] = \left [ x + \frac{1}{2} \right ] $; если же $(x) = [x] + 1$ (т.е. $x - [x] \geq \frac{1}{2}$), то $\left [ x + \frac{1}{2} \right ] = [x] + 1, [2x] = 2 [x] + 1$ - и опять $[2x] - [x] = 2 [x] - [x] = 2 [x] + 1 - [x] = [x] + 1 = \left [ x + \frac{1}{2} \right ]$.
4) Первое решение. Представим $x$ в виде $x = [x] + \alpha$. Так как $0 \leq \alpha < 1$, то $\alpha$ содержится между некоторыми двумя соседними из дробей $\frac{0}{n}, \frac{1}{n}, \cdots, \frac {n-1}{n}, \frac{n}{n}$. Пусть эти дроби будут $\frac{k}{n}$ и $\frac{k+1}{n}$, т. е. пусть $\frac{k}{n} \leq \alpha < \frac{k+1}{n}$; тогда имеем:
$x + \frac{n - k - 1}{n} = |x| + \alpha + \frac{n-k-1}{n} < |x| + \alpha + \frac{n-k-1}{n} < [x] + \frac{k+1}{n} + \frac{n-k-1}{n} = [x] + 1$,
$x + \frac{n-k}{n} = [x] + \alpha + \frac{n-k}{n} \geq [x] + \frac{k}{n} + \frac{n-k}{n} = [x] + 1$
и
$x + \frac{n-1}{n} = [x] + \alpha + \frac{n - 1}{n} < [x] + \frac{k + 1}{n} + \frac{n-1}{n} = [x] + \frac{n + k}{n} < [x] + 2$.
Отсюда следует, что
$[x] \leq \left [ x + \frac{1}{n} \right ] \leq \left [ x + \frac{2}{n} \right ] \leq \cdots \leq \left [ x + \frac{n-k-1}{n} \right ] < [x] + 1$, $[x] + 1 \leq \left [ x + \frac{n-k}{n} \right ] \leq \left [x + \frac{n-k+1}{n} \right ] \leq \cdots \left [ x + \frac{n-1}{n} \right ] < [x] + 2$,
т. е.
$[x] = \left [ x + \frac{1}{n} \right ] = \left [ x+ \frac{2}{n} \right ] = \cdots = \left [x + \frac{n-k-1}{n} \right ]$,
$\left[ x + \frac{n-k}{n} \right ] = \left [ x + \frac{n-k+1}{n} \right ] = \cdots = \left [ x + \frac{n-1}{n} \right ] = [x] + 1$.
Так как первых чисел $n-k$, а вторых $k$, то
$[x] + \left [ x + \frac{1}{n} \right ] + \cdots + \left [ x + \frac{n-1}{n} \right ] = (n-k)[x] + k([x] + 1) = n [x] + k$.
Но тому же равна и целая часть числа $nx$. Действительно, так как $k \leq n \alpha < k + 1$, то $n \alpha = k + \beta$, где $0 \leq \beta < 1$. Следовательно,
$[nx] = [n [x] + n \alpha] = [n [x] + k + \beta] = n [x] + k + \beta$, где $0 \leq \beta < 1$. Следовательно,
$[nx] = [n[x] + n \alpha] = [n [x] + k + \beta] = n [x] + k$.
Таким образом, доказано, что
$[x] + \left [x + \frac{1}{n} \right ] + \cdots + \left [ x + \frac{n-1}{n} \right ] = [nx]$.
Второе решение. Рассмотрим левую часть равенства. Если $0 \leq x < \frac{1}{n} $, то все числа $x, x+ \frac{1}{n}, \cdots, x + \frac{n-1}{n}$ меньше 1, а целая часть от них равна 0; $[nx]$ тоже равно 0. Поэтому для таких $x$ равенство верно.
Пусть теперь $x$ - произвольное. Если увеличить $x$ на $\frac{1}{n}$, то все слагаемые в левой части сдвинутся на одно место вправо, а последнее слагаемое $\left [ x + \frac{n-1}{n} \right ]$ перейдет в $[x+1]$, которое на 1 больше, чем $[x]$. Значит, с увеличением $x$ на $\frac{1}{n}$ левая часть увеличивается на 1. Правая часть с увеличением $x$ на $\frac{1}{n}$ тоже увеличивается на 1. Для любого $x$ можно найти такое число $\alpha$, заключенное между 0 и 1 $\frac{1}{n} \left (0 \leq \alpha < \frac{1}{n} \right )$, что $x$ отличается от $\alpha$ на $\frac{m}{n}$, где $m$ - целое число. Отсюда следует, что равенство сохраняется при любом $x$.
Доказать следующие свойства целой части числа:
1) $[x + y] \geq [x] + [y]$;
2) $\left [ \frac{[x]}{n} \right ] = \left [ \frac{x}{n} \right ]$, $n$ - целое число?
3) $\left [ x + \frac{1}{2} \right ] = [2x] - [x]$;
4) $[x] + \left [ x + \frac{1}{n} \right ] + \left [ x + \frac{2}{n} \right ] + \cdots + \left [x + \frac{n-1}{n} \right ] = [nx]$.
Решение:
1) Пусть $x$ - любое действительное число. Тогда его можно представить в виде суммы $x = |x| + \alpha$, где $\alpha$ - неотрицательное число меньшее единицы. Представим теперь $у$ в виде $y = [y] + \beta (0 \leq \beta < 1)$. Тогда $x + y = [x] + [y] + \alpha + \beta$. Так как $\alpha + \beta \geq 0$, то из этого равенства видно, что $[x] + [y]$ есть целое число, не превосходящее $x + y$. А так как $[x+y]$ есть наибольшее из таких целых чисел, то $[x+y] \geq [x] + [y]$.
2) Первое решение. Представим $x$ в виде $[x] + \alpha$, где $0 \leq \alpha < 1$. Пусть целое число $[х]$ при делении на $n$ дает в частном $q$ и в остатке $r$, т. е. $[x] = qn + r (0 \leq r \leq n - 1$. В таком случае имеем:
$\frac{[x]}{n} = q + \frac{r}{n}, \left [ \frac{[x]}{n} \right ] = q, x = qn + r + \alpha = qn + r_1$,
где $r_1 = r + \alpha < n, \frac{x}{n} = q + \frac{r_1}{n}, \left [ \frac{x}{n} \right ] = q = \left [ \frac{[x]}{n} \right ]$, что и требовалось доказать.
Второе решение. Рассмотрим все целые числа, делящиеся на $n$ и не большие $x$. Их число, очевидно равно $\left [ \frac{x}{n} \right ]$. Рассмотрим также все целые числа, делящиеся на $n$ и не большие $[x]$. Их число равно $\left [ \frac{[x]}{n} \right ]$. Но так как это - одни и те же числа, то их количеств равны; следовательно, $\left [ \frac{[x]}{n} \right ] = \left [ \frac{x}{n} \right ]$.
3) Если $(x) = [x]$ (т. е. $x - [x] < \frac{1}{2}$, то $\left [ x + \frac{1}{2} \right ] = [x]; [2x] = 2 [x]$ и $[2x] - [x] = 2[x] - [x] = [x] = \left [ x + \frac{1}{2} \right ] $; если же $(x) = [x] + 1$ (т.е. $x - [x] \geq \frac{1}{2}$), то $\left [ x + \frac{1}{2} \right ] = [x] + 1, [2x] = 2 [x] + 1$ - и опять $[2x] - [x] = 2 [x] - [x] = 2 [x] + 1 - [x] = [x] + 1 = \left [ x + \frac{1}{2} \right ]$.
4) Первое решение. Представим $x$ в виде $x = [x] + \alpha$. Так как $0 \leq \alpha < 1$, то $\alpha$ содержится между некоторыми двумя соседними из дробей $\frac{0}{n}, \frac{1}{n}, \cdots, \frac {n-1}{n}, \frac{n}{n}$. Пусть эти дроби будут $\frac{k}{n}$ и $\frac{k+1}{n}$, т. е. пусть $\frac{k}{n} \leq \alpha < \frac{k+1}{n}$; тогда имеем:
$x + \frac{n - k - 1}{n} = |x| + \alpha + \frac{n-k-1}{n} < |x| + \alpha + \frac{n-k-1}{n} < [x] + \frac{k+1}{n} + \frac{n-k-1}{n} = [x] + 1$,
$x + \frac{n-k}{n} = [x] + \alpha + \frac{n-k}{n} \geq [x] + \frac{k}{n} + \frac{n-k}{n} = [x] + 1$
и
$x + \frac{n-1}{n} = [x] + \alpha + \frac{n - 1}{n} < [x] + \frac{k + 1}{n} + \frac{n-1}{n} = [x] + \frac{n + k}{n} < [x] + 2$.
Отсюда следует, что
$[x] \leq \left [ x + \frac{1}{n} \right ] \leq \left [ x + \frac{2}{n} \right ] \leq \cdots \leq \left [ x + \frac{n-k-1}{n} \right ] < [x] + 1$, $[x] + 1 \leq \left [ x + \frac{n-k}{n} \right ] \leq \left [x + \frac{n-k+1}{n} \right ] \leq \cdots \left [ x + \frac{n-1}{n} \right ] < [x] + 2$,
т. е.
$[x] = \left [ x + \frac{1}{n} \right ] = \left [ x+ \frac{2}{n} \right ] = \cdots = \left [x + \frac{n-k-1}{n} \right ]$,
$\left[ x + \frac{n-k}{n} \right ] = \left [ x + \frac{n-k+1}{n} \right ] = \cdots = \left [ x + \frac{n-1}{n} \right ] = [x] + 1$.
Так как первых чисел $n-k$, а вторых $k$, то
$[x] + \left [ x + \frac{1}{n} \right ] + \cdots + \left [ x + \frac{n-1}{n} \right ] = (n-k)[x] + k([x] + 1) = n [x] + k$.
Но тому же равна и целая часть числа $nx$. Действительно, так как $k \leq n \alpha < k + 1$, то $n \alpha = k + \beta$, где $0 \leq \beta < 1$. Следовательно,
$[nx] = [n [x] + n \alpha] = [n [x] + k + \beta] = n [x] + k + \beta$, где $0 \leq \beta < 1$. Следовательно,
$[nx] = [n[x] + n \alpha] = [n [x] + k + \beta] = n [x] + k$.
Таким образом, доказано, что
$[x] + \left [x + \frac{1}{n} \right ] + \cdots + \left [ x + \frac{n-1}{n} \right ] = [nx]$.
Второе решение. Рассмотрим левую часть равенства. Если $0 \leq x < \frac{1}{n} $, то все числа $x, x+ \frac{1}{n}, \cdots, x + \frac{n-1}{n}$ меньше 1, а целая часть от них равна 0; $[nx]$ тоже равно 0. Поэтому для таких $x$ равенство верно.
Пусть теперь $x$ - произвольное. Если увеличить $x$ на $\frac{1}{n}$, то все слагаемые в левой части сдвинутся на одно место вправо, а последнее слагаемое $\left [ x + \frac{n-1}{n} \right ]$ перейдет в $[x+1]$, которое на 1 больше, чем $[x]$. Значит, с увеличением $x$ на $\frac{1}{n}$ левая часть увеличивается на 1. Правая часть с увеличением $x$ на $\frac{1}{n}$ тоже увеличивается на 1. Для любого $x$ можно найти такое число $\alpha$, заключенное между 0 и 1 $\frac{1}{n} \left (0 \leq \alpha < \frac{1}{n} \right )$, что $x$ отличается от $\alpha$ на $\frac{m}{n}$, где $m$ - целое число. Отсюда следует, что равенство сохраняется при любом $x$.
