Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 291
2014-06-07 
Доказать, что если для точки О, лежащей внутри четырехугольника $ABCD$ площади $S$, справедливо равенство
$2S = OA^{2} + OB^{2} + OC^{2} + OD^{2}$,
то четырехугольник $ABCD$ - квадрат, а точка О - его центр.
Решение:
Поскольку имеют место соотношения (рис.)
$OA^{2} + OB^{2} + OC^{2} + OD^{2} =$
$= \frac{1}{2} (OA^{2} + OB^{2}) + \frac{1}{2} (OB^{2} + OC^{2}) + \frac{1}{2} (OD^{2} + OA^{2}) + \frac{1}{2} (OD^{2} + OA^{2}) \geq$
$\geq OA \cdot OB + OB \cdot OC + OC \cdot OD + OD \cdot OA \geq 2S_{AOB} + 2S_{BOC} + 2S_{COD} + 2S_{DOA} = 2S$
причем равенства достигаются только при
OA = OB =OC = OD и $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA$,
то диагонали AС и BD данного четырехугольника ABCD перпендикулярны и делятся в точке О их пересечения пополам, т. е. ABCD - квадрат с центром О.
Доказать, что если для точки О, лежащей внутри четырехугольника $ABCD$ площади $S$, справедливо равенство
$2S = OA^{2} + OB^{2} + OC^{2} + OD^{2}$,
то четырехугольник $ABCD$ - квадрат, а точка О - его центр.
Решение:
Поскольку имеют место соотношения (рис.)
$OA^{2} + OB^{2} + OC^{2} + OD^{2} =$
$= \frac{1}{2} (OA^{2} + OB^{2}) + \frac{1}{2} (OB^{2} + OC^{2}) + \frac{1}{2} (OD^{2} + OA^{2}) + \frac{1}{2} (OD^{2} + OA^{2}) \geq$
$\geq OA \cdot OB + OB \cdot OC + OC \cdot OD + OD \cdot OA \geq 2S_{AOB} + 2S_{BOC} + 2S_{COD} + 2S_{DOA} = 2S$
причем равенства достигаются только при
OA = OB =OC = OD и $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA$,
то диагонали AС и BD данного четырехугольника ABCD перпендикулярны и делятся в точке О их пересечения пополам, т. е. ABCD - квадрат с центром О.
