Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2909
2019-05-06 
В одну строку выписаны. все делители числа $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 37$. Под числом 1 и теми числами, которые представляют собой произведение четного числа простых множителей, подписано число + 1, а под числами, представляющими собой произведение нечетного числа простых множителей, подписано число - 1. Доказать, что сумма всех выписанных в нижней строке чисел равна нулю.
Решение:
Число $N$ представляет собой произведение всех простых чисел от 2 до 37 включительно; каждый делитель числа $N$ представляет собой произведение некоторых из этих чисел. Покажем, что утверждение задачи справедливо для любого числа $N_k = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot p_k$ - произведения $k$ первых простых чисел). Докажем наше утверждение методом математической индукции (по числу $k$). Ясно, что при $k = 1$ мы приходим к числу $N_1 = 2$, имеющему лишь два делителя 1 и 2, под которыми будут подписаны, соответственно, числа +1 и - 1; здесь + 1 + (- 1) = 0. Далее, пусть наше утверждение уже доказано для числа $N_k$, равного произведению $k$ первых простых чисел; другими словами, мы считаем доказанным, что число $N_k$ имеет четное число $2n$ делителей (включая сюда числа 1 и $N_k$), $n$ из которых представляют собой произведение четного числа простых сомножителей (эти делители мы условимся называть «четными»; к их числу относится, в частности, число 1, которое имеет четное число нуль простых множителей, поскольку 1 не причисляют ни к простым, ни к составным натуральным числам), а $n$ остальных - произведение нечетного числа простых множителей (их мы назовем «нечетными» делителями $N_k$,). Докажем, что утверждение задачи будет верно и для числа $N_{k+1} = N_k \cdot p_{k+1}$, где $p_{k+1}$-е простое число. Ясно, что все делители числа $N_k$ являются также и делителями числа $N_{k+1}$, это дает 2$n$ делителей $N_{k+1}$, из которых $n$ являются «четными», а $n$ остальных - «нечетными». Но наряду с этим число $N_{k+1}$, имеет и делители, не являющиеся делителями числа $N_k$, - те, которые делятся на $N_{k+1}$. Их можно получить умножением всех делителей числа $N_k$, на $p_{k+1}$, при этом $n$ «четных» делителей $N$ дадут $n$ делителей $N_{k+1}$, каждый из которых состоит из нечетного числа простых множителей, а $n$ «нечетных» делителей $N_k$ дадут $n$ «четных» делителей $N_{k+1}$. Таким, образом, мы видим, что число $N_{k+1}$, имеет всего $4n$ делителей, $2n (= n+n)$ из которых «четны» и $2n (= n+n)$ - «нечетны». Поэтому для него выписанные в нижнем ряду числа - это $2n$ чисел +1 и $2n$ чисел -1; в сумме они также дадут 0.
В одну строку выписаны. все делители числа $N = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 37$. Под числом 1 и теми числами, которые представляют собой произведение четного числа простых множителей, подписано число + 1, а под числами, представляющими собой произведение нечетного числа простых множителей, подписано число - 1. Доказать, что сумма всех выписанных в нижней строке чисел равна нулю.
Решение:
Число $N$ представляет собой произведение всех простых чисел от 2 до 37 включительно; каждый делитель числа $N$ представляет собой произведение некоторых из этих чисел. Покажем, что утверждение задачи справедливо для любого числа $N_k = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot p_k$ - произведения $k$ первых простых чисел). Докажем наше утверждение методом математической индукции (по числу $k$). Ясно, что при $k = 1$ мы приходим к числу $N_1 = 2$, имеющему лишь два делителя 1 и 2, под которыми будут подписаны, соответственно, числа +1 и - 1; здесь + 1 + (- 1) = 0. Далее, пусть наше утверждение уже доказано для числа $N_k$, равного произведению $k$ первых простых чисел; другими словами, мы считаем доказанным, что число $N_k$ имеет четное число $2n$ делителей (включая сюда числа 1 и $N_k$), $n$ из которых представляют собой произведение четного числа простых сомножителей (эти делители мы условимся называть «четными»; к их числу относится, в частности, число 1, которое имеет четное число нуль простых множителей, поскольку 1 не причисляют ни к простым, ни к составным натуральным числам), а $n$ остальных - произведение нечетного числа простых множителей (их мы назовем «нечетными» делителями $N_k$,). Докажем, что утверждение задачи будет верно и для числа $N_{k+1} = N_k \cdot p_{k+1}$, где $p_{k+1}$-е простое число. Ясно, что все делители числа $N_k$ являются также и делителями числа $N_{k+1}$, это дает 2$n$ делителей $N_{k+1}$, из которых $n$ являются «четными», а $n$ остальных - «нечетными». Но наряду с этим число $N_{k+1}$, имеет и делители, не являющиеся делителями числа $N_k$, - те, которые делятся на $N_{k+1}$. Их можно получить умножением всех делителей числа $N_k$, на $p_{k+1}$, при этом $n$ «четных» делителей $N$ дадут $n$ делителей $N_{k+1}$, каждый из которых состоит из нечетного числа простых множителей, а $n$ «нечетных» делителей $N_k$ дадут $n$ «четных» делителей $N_{k+1}$. Таким, образом, мы видим, что число $N_{k+1}$, имеет всего $4n$ делителей, $2n (= n+n)$ из которых «четны» и $2n (= n+n)$ - «нечетны». Поэтому для него выписанные в нижнем ряду числа - это $2n$ чисел +1 и $2n$ чисел -1; в сумме они также дадут 0.
