Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2908
2019-05-06 
Имеется (конечная) последовательность нулей и единиц такая, что различны все пятерки последовательных цифр, которые можно из нее выделить (причем эти пятерки могут, разумеется, и перекрываться подобно пятеркам 01011 и 01101, расположенным так:
. Доказать, что если последовательность нельзя продолжить с сохранением сформулированного ее свойства, то первые четыре цифры последовательности совпадают с ее последними четырьмя цифрами.
Решение:
Пусть $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4$ (где $\alpha_1$ вce $\alpha_i, i = 1, 2, 3, 4$, - цифры 0 или 1) последние четыре цифры последовательности. Если бы в последовательности нигде не стояли подряд цифры $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_40$, то ее можно было бы продолжить, приписав в конце 0; аналогично, если бы из последовательности цифр нельзя было бы выделить пятерки цифр $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 1$, то мы могли бы приписать в конце цифру 1. Поэтому в нашей последовательности три раза встречаются последовательные четверки цифр $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4$ (за одной из них следует цифра 0; за второй - цифра 1; третья стоит в конце). Двум из этих четверок предшествуют цифры 0 и 1, а третьей уже не может предшествовать никакая цифра $\alpha_0$ (ибо иначе в последовательности дважды встретилась бы пятерка цифр $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4$); поэтому третий раз четверка цифр $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4$ должна стоять в начале последовательности.
Имеется (конечная) последовательность нулей и единиц такая, что различны все пятерки последовательных цифр, которые можно из нее выделить (причем эти пятерки могут, разумеется, и перекрываться подобно пятеркам 01011 и 01101, расположенным так:
. Доказать, что если последовательность нельзя продолжить с сохранением сформулированного ее свойства, то первые четыре цифры последовательности совпадают с ее последними четырьмя цифрами.
Решение:
Пусть $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4$ (где $\alpha_1$ вce $\alpha_i, i = 1, 2, 3, 4$, - цифры 0 или 1) последние четыре цифры последовательности. Если бы в последовательности нигде не стояли подряд цифры $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_40$, то ее можно было бы продолжить, приписав в конце 0; аналогично, если бы из последовательности цифр нельзя было бы выделить пятерки цифр $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 1$, то мы могли бы приписать в конце цифру 1. Поэтому в нашей последовательности три раза встречаются последовательные четверки цифр $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4$ (за одной из них следует цифра 0; за второй - цифра 1; третья стоит в конце). Двум из этих четверок предшествуют цифры 0 и 1, а третьей уже не может предшествовать никакая цифра $\alpha_0$ (ибо иначе в последовательности дважды встретилась бы пятерка цифр $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4$); поэтому третий раз четверка цифр $\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4$ должна стоять в начале последовательности.
