Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2906
2019-05-06 
Выписываются подряд все числа, кратные девяти:
$9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, \cdots$ (*)
и для каждого из этих чисел находится сумма его цифр:
$9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 18, 9, 9,\cdots$ (**)
На каком месте последовательности (**) впервые появится число 81 и каково будет следующее за ним число? Что раньше встретится в этой последовательности: 4 раза подряд число 27 или 3 раза подряд число 36? Что еще можно сказать о чередовании чисел в последовательности (**)?
Решение:
Ответ на первый вопрос задачи является совсем простым: ясно, что среди 8-значных и еще меньших чисел мы не можем встретить такого, сумма цифр которого равна $9 \cdot 9 = 81$, а среди 9-значных чисел таким является одно лишь число 999 999 999; соответственно этому в ряду (**) число 81 впервые встретится на 111111 111-м месте; следующее за ним число ряда (**) будет 9 (сумма цифр числа 1 000 000 008).
Несложен и ответ на второй вопрос. Так как среди тех чисел ряда (**), которые отвечают не более чем трехзначным числам ряда (*), число 27 встретится единственный раз (на 111-м месте в этом ряду - в ряду (*) на этом месте стоит число 999), то здесь не приходится рассчитывать на четырехкратное повторение числа 27. Среди же четырехзначных чисел ряда (*) можно отыскать 4 последовательных числа, сумма цифр которых равна 27 - это будут числа 3969, 3978, 3987 и 3996; ясно, что соответствующие числа 27, 27, 27, 27 ряда (**) предшествуют первой тройке чисел 36 в этом ряду (и даже вообще первому числу 36, отвечающему числу 9999 ряда (*)).
Менее определенно сформулирован последний вопрос,- а между тем именно с ним и связаны пути подбора указанной выше четверки чисел 3969, … Не останавливаясь на подробном обсуждении этого вопроса, укажем лишь, что строение чисел ряда (**) связано с монотонностью ряда цифр в числах, получаемых делением чисел ряда (*) на 9; в частности, числа 441 (= 3969:9), 442, 443, 444, отвечающие рассмотренной четверке чисел ряда (*), таковы, что их цифры не возрастают. Выпишем, например, в таблицу все числа от 1 до 110, где жирным набраны двузначные числа, для которых цифры числа (отличные от цифры 0) не возрастают, и трехзначные числа, цифры которых (снова отличные от 0) не убывают.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 *43 44
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77
78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88
89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
Умножив все эти числа на 9 и образовав для каждого из них сумму цифр, мы придем к такой красивой таблице:
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 18
9 9 9 9 9 9 9 9 9 18 18
9 9 9 9 9 9 9 9 18 18 18
9 9 9 9 9 9 9 18 18 18 18
9 9 9 9 9 9 18 18 18 18 18
9 9 9 9 9 18 18 18 18 18 18
9 9 9 9 18 18 18 18 18 18 18
9 9 9 18 18 18 18 18 18 18 18
9 9 18 18 18 18 18 18 18 18 18
9 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18
Существуют и другие изящные конфигурации чисел последовательности (**).
Выписываются подряд все числа, кратные девяти:
$9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117, \cdots$ (*)
и для каждого из этих чисел находится сумма его цифр:
$9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 18, 9, 9,\cdots$ (**)
На каком месте последовательности (**) впервые появится число 81 и каково будет следующее за ним число? Что раньше встретится в этой последовательности: 4 раза подряд число 27 или 3 раза подряд число 36? Что еще можно сказать о чередовании чисел в последовательности (**)?
Решение:
Ответ на первый вопрос задачи является совсем простым: ясно, что среди 8-значных и еще меньших чисел мы не можем встретить такого, сумма цифр которого равна $9 \cdot 9 = 81$, а среди 9-значных чисел таким является одно лишь число 999 999 999; соответственно этому в ряду (**) число 81 впервые встретится на 111111 111-м месте; следующее за ним число ряда (**) будет 9 (сумма цифр числа 1 000 000 008).
Несложен и ответ на второй вопрос. Так как среди тех чисел ряда (**), которые отвечают не более чем трехзначным числам ряда (*), число 27 встретится единственный раз (на 111-м месте в этом ряду - в ряду (*) на этом месте стоит число 999), то здесь не приходится рассчитывать на четырехкратное повторение числа 27. Среди же четырехзначных чисел ряда (*) можно отыскать 4 последовательных числа, сумма цифр которых равна 27 - это будут числа 3969, 3978, 3987 и 3996; ясно, что соответствующие числа 27, 27, 27, 27 ряда (**) предшествуют первой тройке чисел 36 в этом ряду (и даже вообще первому числу 36, отвечающему числу 9999 ряда (*)).
Менее определенно сформулирован последний вопрос,- а между тем именно с ним и связаны пути подбора указанной выше четверки чисел 3969, … Не останавливаясь на подробном обсуждении этого вопроса, укажем лишь, что строение чисел ряда (**) связано с монотонностью ряда цифр в числах, получаемых делением чисел ряда (*) на 9; в частности, числа 441 (= 3969:9), 442, 443, 444, отвечающие рассмотренной четверке чисел ряда (*), таковы, что их цифры не возрастают. Выпишем, например, в таблицу все числа от 1 до 110, где жирным набраны двузначные числа, для которых цифры числа (отличные от цифры 0) не возрастают, и трехзначные числа, цифры которых (снова отличные от 0) не убывают.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
34 35 36 37 38 39 40 41 42 *43 44
45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77
78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88
89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
Умножив все эти числа на 9 и образовав для каждого из них сумму цифр, мы придем к такой красивой таблице:
9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 18
9 9 9 9 9 9 9 9 9 18 18
9 9 9 9 9 9 9 9 18 18 18
9 9 9 9 9 9 9 18 18 18 18
9 9 9 9 9 9 18 18 18 18 18
9 9 9 9 9 18 18 18 18 18 18
9 9 9 9 18 18 18 18 18 18 18
9 9 9 18 18 18 18 18 18 18 18
9 9 18 18 18 18 18 18 18 18 18
9 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18
Существуют и другие изящные конфигурации чисел последовательности (**).
