Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2904
2019-05-06 
Подряд выписывается бесконечная последовательность цифр $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \cdots$, где под $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \cdots$ понимается любая из цифр, кроме девятки. Доказать, что среди чисел $\alpha_1, \alpha_1 \alpha_2, \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3, \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4, \cdots$ (где под $\alpha_1 \alpha_2$ понимается число $\alpha_1 \cdot 10 + \alpha_2$, и т.д.) имеется бесконечно много составных.
Решение:
Будем доказывать наше утверждение от противного. Предположим, что в последовательности чисел $\alpha_1, \overline {\alpha_1\alpha_2}, \overline {\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3} \cdots$ имеется лишь конечное число составных. Ясно, что в этом случае в последовательности цифр $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ имеется лишь конечное число четных цифр (ибо каждое число, десятичная запись которого кончается четной цифрой, является составным), и, значит, все цифры $\alpha_n$, $\alpha_{n+1}$, $\alpha_{n+2}, \cdots$ начиная с какой-то $n$-й цифры, будут нечетными. Точно так же устанавливается, что в нашей последовательности $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3, \cdots$ цифр будет лишь конечное число пятерок (ибо каждое число, оканчивающееся на 5, делится на 5); таким образом, начиная с какого-то места в последовательности будут встречаться лишь единицы, тройки и семерки (ибо девяток в ней нет по условию задачи). Но приписывание к числу тройки в конце не меняет остатка от деления этого числа на 3, а приписывание единицы или семерки увеличивает остаток от деления на 3 на единицу (ибо $7 = 2 \cdot 3 + 1$); поэтому если число единиц и семерок в нашем ряду цифр бесконечно, то каждое третье из оканчивающихся на 1 или на 7 чисел будут делиться на 3, т. е. будет составным. Таким образом, если, стремиться к тому, чтобы лишь конечное число чисел ряда $\alpha_1, \overline { \alpha_1 \alpha_2 }, \overline { \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3}, \cdots$ были составными, мы должны, начиная с какого-то $N$ -го места в ряду цифр $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3, \cdots$ приписывать в конце ранее имеющегося числа тройку, при этом мы приходим к последовательности чисел вида
$M = \overline {\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_{N-1} \underbrace {333 \cdots 3}_{k \:раз} } = 10^kA + 3B$,
где $A = \overline {\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_{N-1}}$ и $B = \underbrace {111 \cdots 1}_{k \:раз} $; здесь $k = 1, 2, 3, \cdots$.
Пусть теперь $p$ -простой делитель числа $A$ (возможно, совпадающий с $A$); можно считать $p$ отличным от 2 и от 5, ибо если $N$ достаточно велико, то $\alpha_{n-1} = 1, 7$ или 3 (значение $\alpha_{N-1} = 3$ здесь не исключается!). Но существует бесконечно много таких значений $k$, что записываемое с помощью $k$ единиц число $B$ делится на $р$; всем этим значениям $k$ отвечают составные (делящиеся на $A$) числа $M = 10^kA + 3B$, т. е. вопреки сделанному предположению среди чисел $М$ имеется бесконечно много составных. Полученное противоречие и доказывает утверждение задачи.
Подряд выписывается бесконечная последовательность цифр $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \cdots$, где под $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4, \cdots$ понимается любая из цифр, кроме девятки. Доказать, что среди чисел $\alpha_1, \alpha_1 \alpha_2, \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3, \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4, \cdots$ (где под $\alpha_1 \alpha_2$ понимается число $\alpha_1 \cdot 10 + \alpha_2$, и т.д.) имеется бесконечно много составных.
Решение:
Будем доказывать наше утверждение от противного. Предположим, что в последовательности чисел $\alpha_1, \overline {\alpha_1\alpha_2}, \overline {\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3} \cdots$ имеется лишь конечное число составных. Ясно, что в этом случае в последовательности цифр $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ имеется лишь конечное число четных цифр (ибо каждое число, десятичная запись которого кончается четной цифрой, является составным), и, значит, все цифры $\alpha_n$, $\alpha_{n+1}$, $\alpha_{n+2}, \cdots$ начиная с какой-то $n$-й цифры, будут нечетными. Точно так же устанавливается, что в нашей последовательности $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3, \cdots$ цифр будет лишь конечное число пятерок (ибо каждое число, оканчивающееся на 5, делится на 5); таким образом, начиная с какого-то места в последовательности будут встречаться лишь единицы, тройки и семерки (ибо девяток в ней нет по условию задачи). Но приписывание к числу тройки в конце не меняет остатка от деления этого числа на 3, а приписывание единицы или семерки увеличивает остаток от деления на 3 на единицу (ибо $7 = 2 \cdot 3 + 1$); поэтому если число единиц и семерок в нашем ряду цифр бесконечно, то каждое третье из оканчивающихся на 1 или на 7 чисел будут делиться на 3, т. е. будет составным. Таким образом, если, стремиться к тому, чтобы лишь конечное число чисел ряда $\alpha_1, \overline { \alpha_1 \alpha_2 }, \overline { \alpha_1 \alpha_2 \alpha_3}, \cdots$ были составными, мы должны, начиная с какого-то $N$ -го места в ряду цифр $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3, \cdots$ приписывать в конце ранее имеющегося числа тройку, при этом мы приходим к последовательности чисел вида
$M = \overline {\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_{N-1} \underbrace {333 \cdots 3}_{k \:раз} } = 10^kA + 3B$,
где $A = \overline {\alpha_1 \alpha_2 \cdots \alpha_{N-1}}$ и $B = \underbrace {111 \cdots 1}_{k \:раз} $; здесь $k = 1, 2, 3, \cdots$.
Пусть теперь $p$ -простой делитель числа $A$ (возможно, совпадающий с $A$); можно считать $p$ отличным от 2 и от 5, ибо если $N$ достаточно велико, то $\alpha_{n-1} = 1, 7$ или 3 (значение $\alpha_{N-1} = 3$ здесь не исключается!). Но существует бесконечно много таких значений $k$, что записываемое с помощью $k$ единиц число $B$ делится на $р$; всем этим значениям $k$ отвечают составные (делящиеся на $A$) числа $M = 10^kA + 3B$, т. е. вопреки сделанному предположению среди чисел $М$ имеется бесконечно много составных. Полученное противоречие и доказывает утверждение задачи.
