Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2902
2019-05-06 
Последовательность чисел $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$ такова, что $a_1 = 0, |a_2| = |a_1 + 1|, |a_3| = |a_2 + 1|, \cdots, |a_n| = |a_{n-1} + 1|$. Доказать, что среднее арифметическое $\frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$ всех чисел не меньше $- \frac{1}{2}$.
Решение:
Первое решение. Дополним нашу последовательность чисел еще одним числом $a_{n + 1}$, таким, что $|a_{n+1}| = |a_n + 1|$, возведем в квадрат все данные в условии задачи равенства (включая сюда и «дополнительное» равенство, связывающее числа $a_n$ и $a_{n+1}$):
$a_1^2 = 0, a_2^2 = (a_1 + 1)^2 = a_1^2 + 2a_1 + 1$,
$a_3^2 = (a_2 + 1)^2 = a_2^2 + 2a_2 + 1, \cdots, a_n^2 = a_{n-1}^2 + 2a_{n-1} + 1, a_{n+1}^2 = a_n^2 + 2a_n + 1$.
и затем cложим их:
$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \cdots + a_n^2 + a_{n+1}^2 = 0 + a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{n-1}^2 + a_n^2 + 2(a_1 + a_2 + \cdots + a_n) + n \cdot 1$.
Из последнего равенства следует, что
$2(a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n) = - n + a_{n+1}^2 \geq - n$,
а значит,
$\frac {a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n}{n} \geq - \frac{1}{2}$.
Второе решение. Заметим, что при $n = 1$ рассматриваемое среднее арифметическое равно $\frac{a_1}{1} = 0$; при $n = 2$ (где, очевидно, $a_2^2 = 1$ и, значит, $a_2 = + 1 \: или - 1$) оно равно $\frac{a_1+a_2}{2} = \frac{0+a_2}{2} = \frac{a_2}{2}$ т. е. равно $\frac{1}{2}$ или $- \frac{1}{2}$; таким образом, в этих двух случаях требуемое неравенство выполняется. Воспользуемся теперь методом математической индукции: предположим, что в случае, когда количество рассматриваемых чисел меньше $n$, утверждение задачи справедливо, и покажем, что в таком случае оно будет выполняться также и для $n$ чисел. Пусть $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$ - удовлетворяющая условиям задачи последовательность $n$ чисел, и пусть $a_m$ (где $m$ - один из номеров $1, 2, 3, \cdots, \:или n$) - наименьшее из них. В таком случае, разумеется, можно считать, что $a_m < 0$ (ибо если все наши числа неотрицательны, то нам и доказывать нечего: конечно, тут их среднее арифметическое больше $- \frac{1}{2}$ и что $a_m = - a_{m-1} - 1$ (ибо лишь в этом случае $|a_m| = |a_{m-1} + 1|$ и $a_m < a_{m-1}$), т. е. среднее арифметическое чисел $a_{m-1}$ и $a_m$
$\frac {a_{m-1} + a_m}{2} = - \frac{1}{2}$.
Заметим теперь, что если исключить из нашей последовательности числа $a_{m-1}$ и $a_m$, то оставшиеся $m-2$ числа также будут удовлетворять требуемым условиям. В самом деле, ясно, что $m \neq 1$ (ибо $a_1 = 0$, а $a_m < 0$) - именно поэтому мы и можем говорить о числе $a_{m-1}$. Далее, если $m = 2$, то $a_m = a_2 = -1, a_3 = 0$ (ибо $|a_3| = |a_2 + 1|$), и мы, разумеется, можем отбросить числа $a_1$ и $a_2$ и начинать последовательность сразу $a_3 (= 0)$; аналогично, если $m = n$, то мы можем отбросить два последних числа $a_{n-1}$ и $a_n$ и оставшиеся числа по-прежнему будут удовлетворять требуемым равенствам. Наконец, если $3 \leq m \leq n - 1$, то
$|a_{m-2} + 1| = |a_{m-1}| = |-a_m - 1|$ и $|a_{m+1}| = |a_m + 1| = |-a_m - 1|$,
так что $|a_{m-2} + 1| = |a_{m+1}|$ - и, значит, в самом деле, числа $a_1, a_2, \cdots, a_{m-2}, a_{m+1}, \cdots, a_n$ будут удовлетворять требуемым в формулировке задачи условиям.
Теперь, по предположению индукции, выполняющемуся для $n-2$ чисел,
$\frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_{m-2} + a_{m+1} + \cdots + a_n}{n-2} \geq - \frac{1}{2}$,
т. е. $a_1 + a_2 + \cdots + a_{m-2} + a_{m+1} + \cdots + a_n \geq - \frac{1}{2} (n-2)$. С другой стороны, как мы уже знаем,
$\frac{a_{m-1} + a_m}{2} = - \frac{1}{2}$, т. е. $a_{m-1} + a_m = -1$;
поэтому
$a_1 + a_2 + \cdots + a_{m-2} + a_{m-1} + a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n \geq - \frac{1}{2} (n-2) + (-1) = - \frac{1}{2} n$, т.е. $\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq - \frac{1}{2}$,
- что нам и требовалось доказать.
Последовательность чисел $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$ такова, что $a_1 = 0, |a_2| = |a_1 + 1|, |a_3| = |a_2 + 1|, \cdots, |a_n| = |a_{n-1} + 1|$. Доказать, что среднее арифметическое $\frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$ всех чисел не меньше $- \frac{1}{2}$.
Решение:
Первое решение. Дополним нашу последовательность чисел еще одним числом $a_{n + 1}$, таким, что $|a_{n+1}| = |a_n + 1|$, возведем в квадрат все данные в условии задачи равенства (включая сюда и «дополнительное» равенство, связывающее числа $a_n$ и $a_{n+1}$):
$a_1^2 = 0, a_2^2 = (a_1 + 1)^2 = a_1^2 + 2a_1 + 1$,
$a_3^2 = (a_2 + 1)^2 = a_2^2 + 2a_2 + 1, \cdots, a_n^2 = a_{n-1}^2 + 2a_{n-1} + 1, a_{n+1}^2 = a_n^2 + 2a_n + 1$.
и затем cложим их:
$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \cdots + a_n^2 + a_{n+1}^2 = 0 + a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_{n-1}^2 + a_n^2 + 2(a_1 + a_2 + \cdots + a_n) + n \cdot 1$.
Из последнего равенства следует, что
$2(a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n) = - n + a_{n+1}^2 \geq - n$,
а значит,
$\frac {a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n}{n} \geq - \frac{1}{2}$.
Второе решение. Заметим, что при $n = 1$ рассматриваемое среднее арифметическое равно $\frac{a_1}{1} = 0$; при $n = 2$ (где, очевидно, $a_2^2 = 1$ и, значит, $a_2 = + 1 \: или - 1$) оно равно $\frac{a_1+a_2}{2} = \frac{0+a_2}{2} = \frac{a_2}{2}$ т. е. равно $\frac{1}{2}$ или $- \frac{1}{2}$; таким образом, в этих двух случаях требуемое неравенство выполняется. Воспользуемся теперь методом математической индукции: предположим, что в случае, когда количество рассматриваемых чисел меньше $n$, утверждение задачи справедливо, и покажем, что в таком случае оно будет выполняться также и для $n$ чисел. Пусть $a_1, a_2, a_3, \cdots, a_n$ - удовлетворяющая условиям задачи последовательность $n$ чисел, и пусть $a_m$ (где $m$ - один из номеров $1, 2, 3, \cdots, \:или n$) - наименьшее из них. В таком случае, разумеется, можно считать, что $a_m < 0$ (ибо если все наши числа неотрицательны, то нам и доказывать нечего: конечно, тут их среднее арифметическое больше $- \frac{1}{2}$ и что $a_m = - a_{m-1} - 1$ (ибо лишь в этом случае $|a_m| = |a_{m-1} + 1|$ и $a_m < a_{m-1}$), т. е. среднее арифметическое чисел $a_{m-1}$ и $a_m$
$\frac {a_{m-1} + a_m}{2} = - \frac{1}{2}$.
Заметим теперь, что если исключить из нашей последовательности числа $a_{m-1}$ и $a_m$, то оставшиеся $m-2$ числа также будут удовлетворять требуемым условиям. В самом деле, ясно, что $m \neq 1$ (ибо $a_1 = 0$, а $a_m < 0$) - именно поэтому мы и можем говорить о числе $a_{m-1}$. Далее, если $m = 2$, то $a_m = a_2 = -1, a_3 = 0$ (ибо $|a_3| = |a_2 + 1|$), и мы, разумеется, можем отбросить числа $a_1$ и $a_2$ и начинать последовательность сразу $a_3 (= 0)$; аналогично, если $m = n$, то мы можем отбросить два последних числа $a_{n-1}$ и $a_n$ и оставшиеся числа по-прежнему будут удовлетворять требуемым равенствам. Наконец, если $3 \leq m \leq n - 1$, то
$|a_{m-2} + 1| = |a_{m-1}| = |-a_m - 1|$ и $|a_{m+1}| = |a_m + 1| = |-a_m - 1|$,
так что $|a_{m-2} + 1| = |a_{m+1}|$ - и, значит, в самом деле, числа $a_1, a_2, \cdots, a_{m-2}, a_{m+1}, \cdots, a_n$ будут удовлетворять требуемым в формулировке задачи условиям.
Теперь, по предположению индукции, выполняющемуся для $n-2$ чисел,
$\frac {a_1 + a_2 + \cdots + a_{m-2} + a_{m+1} + \cdots + a_n}{n-2} \geq - \frac{1}{2}$,
т. е. $a_1 + a_2 + \cdots + a_{m-2} + a_{m+1} + \cdots + a_n \geq - \frac{1}{2} (n-2)$. С другой стороны, как мы уже знаем,
$\frac{a_{m-1} + a_m}{2} = - \frac{1}{2}$, т. е. $a_{m-1} + a_m = -1$;
поэтому
$a_1 + a_2 + \cdots + a_{m-2} + a_{m-1} + a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n \geq - \frac{1}{2} (n-2) + (-1) = - \frac{1}{2} n$, т.е. $\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \geq - \frac{1}{2}$,
- что нам и требовалось доказать.
