Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2901
2019-05-06 
Последовательность чисел $a_1, a_2, a_3, \cdots$ образована по следующему правилу: $a_1 = 1; a_n = a_{n-1} + \frac {1}{a_{n-1}}$ при $n > 1$. Доказать, что $14 < a_{100} < l8$.
Решение:
Поскольку при $n > 1$ имеем
$a_n^2 = \left ( a_{n-1} + \frac{1}{a_{n-1}} \right )^2 = a_{n-1}^2 + 2 + \frac{1}{a_{n-1}^2} > a_{n-1}^2 + 2$,
то из $a_1^2 = 1$ получаем
$a_2^2 > 1 + 2 = 3, a_3^2 > 1 + 2 \cdot 2 = 5, a_4^2 > 1 + 3 \cdot 2 = 7, \cdots, a_{100}^2 > 1 + 99 \cdot 2 = 199$,
откуда и следует, что $a_{100} > \sqrt {199} > 14$. Аналогично, используя неравенство
$a_n^2 = \left ( a_{n-1} + \frac{1}{a_{n-1}} \right )^2 = a_{n-1}^2 + 2 + \frac{1}{a_{n-1}^2} \leq a_{n-1}^2 + 3$
также верное при всех $n > 1$ (причем в равенство оно обращается лишь при $n = 2$), получаем:
$a_2^2 = 1 + 3 = 4, a_3^2 < 1 + 2 \cdot 3 = 7, a_4^2 < 1 + 3 \cdot 3 = 10, \cdots, a_{100}^2 < 1 + 99 \cdot 3 = 298$,
откуда вытекает, что $a_{100} < \sqrt{298} < 18$.
Последовательность чисел $a_1, a_2, a_3, \cdots$ образована по следующему правилу: $a_1 = 1; a_n = a_{n-1} + \frac {1}{a_{n-1}}$ при $n > 1$. Доказать, что $14 < a_{100} < l8$.
Решение:
Поскольку при $n > 1$ имеем
$a_n^2 = \left ( a_{n-1} + \frac{1}{a_{n-1}} \right )^2 = a_{n-1}^2 + 2 + \frac{1}{a_{n-1}^2} > a_{n-1}^2 + 2$,
то из $a_1^2 = 1$ получаем
$a_2^2 > 1 + 2 = 3, a_3^2 > 1 + 2 \cdot 2 = 5, a_4^2 > 1 + 3 \cdot 2 = 7, \cdots, a_{100}^2 > 1 + 99 \cdot 2 = 199$,
откуда и следует, что $a_{100} > \sqrt {199} > 14$. Аналогично, используя неравенство
$a_n^2 = \left ( a_{n-1} + \frac{1}{a_{n-1}} \right )^2 = a_{n-1}^2 + 2 + \frac{1}{a_{n-1}^2} \leq a_{n-1}^2 + 3$
также верное при всех $n > 1$ (причем в равенство оно обращается лишь при $n = 2$), получаем:
$a_2^2 = 1 + 3 = 4, a_3^2 < 1 + 2 \cdot 3 = 7, a_4^2 < 1 + 3 \cdot 3 = 10, \cdots, a_{100}^2 < 1 + 99 \cdot 3 = 298$,
откуда вытекает, что $a_{100} < \sqrt{298} < 18$.
