Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 290
2014-06-07 
Доказать, что сумма расстояний между серединами противоположных сторон четырехугольника равна его полупериметру тогда и только тогда, когда этот четырехугольник - параллелограмм.
Решение:
Пусть К, L, М, N - середины сторон АВ, ВС, CD, DA четырехугольника ABCD (рис.). Тогда имеем
$\overrightarrow{KM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM}) + \frac{1}{2} (\overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CM}) = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC})$
И аналогично
$\overrightarrow{NL} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC})$.
Поэтому
$KM = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}| \leq \frac{1}{2} (AD + BC)$,
$NL = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}| \leq \frac{1}{2} (AB + DC)$,
и справедливо неравенство
$KM + LN \leq \frac{1}{2} (AB + BC + CD + DA)$,
в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}$ коллинеарны и векторы $\overrightarrow{AИ}, \overrightarrow{ВC}$ также коллинеарны, т. е. когда ABCD - параллелограмм.
Доказать, что сумма расстояний между серединами противоположных сторон четырехугольника равна его полупериметру тогда и только тогда, когда этот четырехугольник - параллелограмм.
Решение:
Пусть К, L, М, N - середины сторон АВ, ВС, CD, DA четырехугольника ABCD (рис.). Тогда имеем
$\overrightarrow{KM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{KA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DM}) + \frac{1}{2} (\overrightarrow{KB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CM}) = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC})$
И аналогично
$\overrightarrow{NL} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC})$.
Поэтому
$KM = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}| \leq \frac{1}{2} (AD + BC)$,
$NL = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}| \leq \frac{1}{2} (AB + DC)$,
и справедливо неравенство
$KM + LN \leq \frac{1}{2} (AB + BC + CD + DA)$,
в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы $\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{BC}$ коллинеарны и векторы $\overrightarrow{AИ}, \overrightarrow{ВC}$ также коллинеарны, т. е. когда ABCD - параллелограмм.
