Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 29
2014-06-07 
Для заданной пары натуральных чисел $m < n$ определить, любое ли множество из $n$ последовательных целых чисел содержит два различных числа, произведение которых делится на $mn$.
Решение:
Докажем, что ответ на вопрос задачи положительный. Пусть заданы $n$ последовательных целых чисел $a_{1},a_{2}, \cdots , a_{n}$. Тогда из неравенств $m < n \leq a_{n}-(a_{1}-1)$ следует, что среди них обязательно найдется число $a_{i}$, кратное $n$, и число $a_{j}$, кратное $m$. Если $i \neq j$, то произведение $a_{i}a_{j}$ делится на $mn$. Рассмотрим случай, когда $i=j$. Обозначим $d=(m, n), q = [m, n]$, тогда
$mn = dq, a_{i} \vdots d$ и $a_{i} \vdots q$.
Докажем, что хотя бы одно из чисел $a_{j}+d$ или $a_{i}-d$, кратных $d$, принадлежит множеству ${a_{1};a_{2}; \cdots ; a_{n}}$. Если это не так, то $a_{i}+d > a_{n}, a_{i}-d < a_{1}$ откуда $i + d \geq n+1, i-d <1$ и $2d > n$, но $n \vdots d$, поэтому $d=n > m$, что противоречит условию $m \vdots d$. Итак, $a_{i}$ и $a_{i}+d$ (или соответственно $a_{i}-d$) являются искомыми, так как произведение $a_{i}(a_{i} \pm d)$ делится на $dq=mn$.
Для заданной пары натуральных чисел $m < n$ определить, любое ли множество из $n$ последовательных целых чисел содержит два различных числа, произведение которых делится на $mn$.
Решение:
Докажем, что ответ на вопрос задачи положительный. Пусть заданы $n$ последовательных целых чисел $a_{1},a_{2}, \cdots , a_{n}$. Тогда из неравенств $m < n \leq a_{n}-(a_{1}-1)$ следует, что среди них обязательно найдется число $a_{i}$, кратное $n$, и число $a_{j}$, кратное $m$. Если $i \neq j$, то произведение $a_{i}a_{j}$ делится на $mn$. Рассмотрим случай, когда $i=j$. Обозначим $d=(m, n), q = [m, n]$, тогда
$mn = dq, a_{i} \vdots d$ и $a_{i} \vdots q$.
Докажем, что хотя бы одно из чисел $a_{j}+d$ или $a_{i}-d$, кратных $d$, принадлежит множеству ${a_{1};a_{2}; \cdots ; a_{n}}$. Если это не так, то $a_{i}+d > a_{n}, a_{i}-d < a_{1}$ откуда $i + d \geq n+1, i-d <1$ и $2d > n$, но $n \vdots d$, поэтому $d=n > m$, что противоречит условию $m \vdots d$. Итак, $a_{i}$ и $a_{i}+d$ (или соответственно $a_{i}-d$) являются искомыми, так как произведение $a_{i}(a_{i} \pm d)$ делится на $dq=mn$.
