Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2899
2019-05-06 
Доказать, что если натуральное число $n$ делится на 5, то и $n$-е число Фибоначчи $u_{n}$ (см. задачу 2897) также делится на 5.
Решение:
Условимся обозначать остатки от деления чисел Фибоначчи $u_1$, $u_2$, $u_3, \cdots$ на 5 через $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3, \cdots$. Ясно, что из равенства $u_k = u_{k-1} + u_{k-2}$, где $k = 3,4,5, \cdots$ следует, что
$\alpha_k = \begin{cases} \alpha_{k-1} + \alpha_{k-2} & \: если \alpha_{k-1} + \alpha_{k-2} < 5 \\ \alpha_{k-1} + \alpha_{k-2} - 5 & \: если \alpha_{k-1} + \alpha_{k-2} \geq 5 \end{cases}$. (*)
Формулы (*) позволяют выписать сколь угодно много членов последовательности $\alpha_{k}$:
$1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 1, \cdots$
При этом для того, чтобы выписать любое число следующих далее членов последовательности $\alpha_k$, нам уже нет нужды прибегать к формулам (*): ведь $\alpha_{21} = \alpha_1$, $\alpha_{22} = \alpha_2$, и, значит, (в силу (*)), $\alpha_{23} = \alpha_3, \alpha_{24} = \alpha_4$, и т. д., т. е. «последовательность остатков» $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \cdots$ является периодической с периодом 20. А так как в первой серии из 20 остатков $\alpha_k$ на 5-м, 10-м, 15-м и 20-м местах стоят нули, но также и впоследствии на всех кратных 5 местах в этой последовательности будут стоять нули.
Доказать, что если натуральное число $n$ делится на 5, то и $n$-е число Фибоначчи $u_{n}$ (см. задачу 2897) также делится на 5.
Решение:
Условимся обозначать остатки от деления чисел Фибоначчи $u_1$, $u_2$, $u_3, \cdots$ на 5 через $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3, \cdots$. Ясно, что из равенства $u_k = u_{k-1} + u_{k-2}$, где $k = 3,4,5, \cdots$ следует, что
$\alpha_k = \begin{cases} \alpha_{k-1} + \alpha_{k-2} & \: если \alpha_{k-1} + \alpha_{k-2} < 5 \\ \alpha_{k-1} + \alpha_{k-2} - 5 & \: если \alpha_{k-1} + \alpha_{k-2} \geq 5 \end{cases}$. (*)
Формулы (*) позволяют выписать сколь угодно много членов последовательности $\alpha_{k}$:
$1, 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 1, \cdots$
При этом для того, чтобы выписать любое число следующих далее членов последовательности $\alpha_k$, нам уже нет нужды прибегать к формулам (*): ведь $\alpha_{21} = \alpha_1$, $\alpha_{22} = \alpha_2$, и, значит, (в силу (*)), $\alpha_{23} = \alpha_3, \alpha_{24} = \alpha_4$, и т. д., т. е. «последовательность остатков» $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \cdots$ является периодической с периодом 20. А так как в первой серии из 20 остатков $\alpha_k$ на 5-м, 10-м, 15-м и 20-м местах стоят нули, но также и впоследствии на всех кратных 5 местах в этой последовательности будут стоять нули.
