Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2898
2019-05-06 
Доказать, что сумма никаких восьми последовательных чисел Фибоначчи (см. задачу 2897) не является числом Фибоначчи.
Решение:
Нас интересуют суммы $s_k = u_{k+1} + u_{k+2} + \cdots + u_{k+8}$ восьми последовательных чисел Фибоначчи. Поскольку числа Фибоначчи, очевидно, монотонно возрастают: $u_1 = u_2 < u_3 < u_4 < \cdots < u_n < u_{n+1} < \cdots$, то ясно, что утверждение задачи будет доказано, если мы покажем, что сумма $s_k$ заключена между $u_{к+9}$ и $u_{k+10}$, т. е. что $u_{k+9} < s_k < u_{k+10}$. Но ясно, что
$u_{k+9} = u_{k+8} + u_{k+7} < u_{k+8} + u_{k+7} + u_{k+6} + \cdots + u_{k+1} = s_k$,
таким образом, остается лишь доказать неравенство $s_k < u_{k+10}$. Нетрудно, однако, видеть, что сумма $S_n = u_1 + u_2 + u_3 + \cdots + u_n$ первых $n$ чисел Фибоначчи на единицу меньше $(n+2)$-го числа и $u_{n+2}$; установить это можно, например методом математической индукции. В самом деле, очевидно, $S_2 = 1 + 1 = 3 - 1 = u_4 - 1$; с другой стороны, если требуемое утверждение справедливо для какого-то номера $n$, то, заменяя $n$ на $n+1$ и используя предположение индукции, получим:
$S_{n+1} = u_1 + u_2 + \cdots + u_n + u_{n+1} = S_n + u_{n+1} = (u_{n+2} - 1) + u_{n+1} = (u_{n+1} + u_{n+2}) - 1 = u_{n+3} - 1$,
- что и требовалось доказать. А теперь сразу получаем:
$s_k = u_{k+1} + u_{k+2} + \cdots + u_{k+8} = S_{k+8} - S_k = (u_{k+10} - 1) - (u_{k+2} - 1) = u_{k+10} - u_{k+2} < u_{k+10}$,
чем и завершается решение задачи.
Доказать, что сумма никаких восьми последовательных чисел Фибоначчи (см. задачу 2897) не является числом Фибоначчи.
Решение:
Нас интересуют суммы $s_k = u_{k+1} + u_{k+2} + \cdots + u_{k+8}$ восьми последовательных чисел Фибоначчи. Поскольку числа Фибоначчи, очевидно, монотонно возрастают: $u_1 = u_2 < u_3 < u_4 < \cdots < u_n < u_{n+1} < \cdots$, то ясно, что утверждение задачи будет доказано, если мы покажем, что сумма $s_k$ заключена между $u_{к+9}$ и $u_{k+10}$, т. е. что $u_{k+9} < s_k < u_{k+10}$. Но ясно, что
$u_{k+9} = u_{k+8} + u_{k+7} < u_{k+8} + u_{k+7} + u_{k+6} + \cdots + u_{k+1} = s_k$,
таким образом, остается лишь доказать неравенство $s_k < u_{k+10}$. Нетрудно, однако, видеть, что сумма $S_n = u_1 + u_2 + u_3 + \cdots + u_n$ первых $n$ чисел Фибоначчи на единицу меньше $(n+2)$-го числа и $u_{n+2}$; установить это можно, например методом математической индукции. В самом деле, очевидно, $S_2 = 1 + 1 = 3 - 1 = u_4 - 1$; с другой стороны, если требуемое утверждение справедливо для какого-то номера $n$, то, заменяя $n$ на $n+1$ и используя предположение индукции, получим:
$S_{n+1} = u_1 + u_2 + \cdots + u_n + u_{n+1} = S_n + u_{n+1} = (u_{n+2} - 1) + u_{n+1} = (u_{n+1} + u_{n+2}) - 1 = u_{n+3} - 1$,
- что и требовалось доказать. А теперь сразу получаем:
$s_k = u_{k+1} + u_{k+2} + \cdots + u_{k+8} = S_{k+8} - S_k = (u_{k+10} - 1) - (u_{k+2} - 1) = u_{k+10} - u_{k+2} < u_{k+10}$,
чем и завершается решение задачи.
