Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2895
2019-05-06 
а) Имеются три кучки камней; играющему с ними мальчику разрешается брать по одному камню одновременно из всех трех кучек или удваивать число камней в одной (произвольной) кучке. Сможет ли мальчик за несколько подобных «ходов» выбрать из кучек все камни?
б) Во всех клетках прямоугольной таблицы, имеющей 8 строк и 5 столбцов, расставлены натуральные числа. Разрешается удвоить число одного столбца (любого) или вычесть единицу из всех чисел одной строки. Доказать, что несколькими «допустимыми» преобразованиями таблицы чисел можно добиться того, что во всех ее клетках окажутся одни нули.
Решение:
а) Сможет. Ясно, что, выбирая по одному камню из всех кучек, мальчик может добиться того, чтобы хоть в одной кучке остался единственный камень. Затем, удваивая число камней в той кучке (или в тех кучках), в которой имеется 1 камень, и снова вычитая по камню из всех кучек, мальчик уменьшит на единицу число камней в кучках, где оно отлично от 1, сохранив 1 камень в кучках, где этот камень был единственным. Продолжая поступать так же, мальчик может добиться того, чтобы во всех кучках осталось по одному камню; после этого он может забрать их все.
б) Эта задача во всем подобна задаче а) (заметим, что фигурирующие в задаче а) числа камней можно расположить в виде «таблицы» из одной строки и трех столбцов - по одному числу в столбце). В самом деле, если мы сначала будем рассматривать числа лишь одной,- скажем, 1-й - строки, то наши операции позволят удвоить любое из чисел этой строки или вычесть единицу из всех этих чисел; поэтому, в точности как в решении задачи а), можно обратить все числа этой строки в 0. После этого мы точно так же обратим в 0 все числа 2-й строки - и так поступим со всеми строками таблицы.
а) Имеются три кучки камней; играющему с ними мальчику разрешается брать по одному камню одновременно из всех трех кучек или удваивать число камней в одной (произвольной) кучке. Сможет ли мальчик за несколько подобных «ходов» выбрать из кучек все камни?
б) Во всех клетках прямоугольной таблицы, имеющей 8 строк и 5 столбцов, расставлены натуральные числа. Разрешается удвоить число одного столбца (любого) или вычесть единицу из всех чисел одной строки. Доказать, что несколькими «допустимыми» преобразованиями таблицы чисел можно добиться того, что во всех ее клетках окажутся одни нули.
Решение:
а) Сможет. Ясно, что, выбирая по одному камню из всех кучек, мальчик может добиться того, чтобы хоть в одной кучке остался единственный камень. Затем, удваивая число камней в той кучке (или в тех кучках), в которой имеется 1 камень, и снова вычитая по камню из всех кучек, мальчик уменьшит на единицу число камней в кучках, где оно отлично от 1, сохранив 1 камень в кучках, где этот камень был единственным. Продолжая поступать так же, мальчик может добиться того, чтобы во всех кучках осталось по одному камню; после этого он может забрать их все.
б) Эта задача во всем подобна задаче а) (заметим, что фигурирующие в задаче а) числа камней можно расположить в виде «таблицы» из одной строки и трех столбцов - по одному числу в столбце). В самом деле, если мы сначала будем рассматривать числа лишь одной,- скажем, 1-й - строки, то наши операции позволят удвоить любое из чисел этой строки или вычесть единицу из всех этих чисел; поэтому, в точности как в решении задачи а), можно обратить все числа этой строки в 0. После этого мы точно так же обратим в 0 все числа 2-й строки - и так поступим со всеми строками таблицы.
