Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2893
2019-05-06 
Во всех, кроме одной, клетках шахматной доски размером $n \times n$ стоят знаки «+», а в одной клетке стоит знак «-»; при этом
а) $n = 4$ и знак «-» стоит с краю доски, но не в ее углу;
б) $n = 8$ и знак «-» стоит не в углу доски.
Разрешается одновременно менять все знаки в одном (произвольно взятом) столбце, или в одной (произвольной) строке, или в одном (произвольно выбранном) «наклонном» ряду, параллельном диагонали доски. (В частности, можно изменить знак в любом угловом поле, которое образует самостоятельный «наклонный ряд».) Доказать, что любым числом «допустимых» изменений знаков нельзя избавиться от знака «-», т. е. прийти к доске, во всех клетках которой стоит знак «-|-».
Решение:
а) На доске размером $4 \times 4$ имеются 4 столбца, 4 строки и $2 \cdot 7 = 14$ параллельных диагонали рядов (из которых 4 «ряда», содержат лишь по одной угловой клетке); нетрудно убедиться, что каждый из этих $4+4+14 = 22$ вертикальных, горизонтальных или наклонных рядов содержит четное число (а именно - либо 0, либо 2) заштрихованных на рис. а, клеток. Но первоначально лишь одна из этих клеток содержала знак «-»; поэтому при всех наших переменах знаков число заштрихованных клеток, помеченных знаком «-», останется нечетным - и, значит, никогда не станет равным 0.
б) Где бы ни был расположенный на доске знак «-», мы всегда можем «вырезать» из нашей доски размером $4 \times 4$ «малую» доску размером $$ так, чтобы на ней расположение знаков было таким, чек в условии задачи а) (см. рис. б, где изображены два возможных варианта расположения знака «-» на большей доске). А так как наши изменения знаков на большой доске порождают на «малой» доске описанные в условии задачи а) перемены знаков, то требуемый результат следует из результата задачи а).
Во всех, кроме одной, клетках шахматной доски размером $n \times n$ стоят знаки «+», а в одной клетке стоит знак «-»; при этом
а) $n = 4$ и знак «-» стоит с краю доски, но не в ее углу;
б) $n = 8$ и знак «-» стоит не в углу доски.
Разрешается одновременно менять все знаки в одном (произвольно взятом) столбце, или в одной (произвольной) строке, или в одном (произвольно выбранном) «наклонном» ряду, параллельном диагонали доски. (В частности, можно изменить знак в любом угловом поле, которое образует самостоятельный «наклонный ряд».) Доказать, что любым числом «допустимых» изменений знаков нельзя избавиться от знака «-», т. е. прийти к доске, во всех клетках которой стоит знак «-|-».
Решение:
а) На доске размером $4 \times 4$ имеются 4 столбца, 4 строки и $2 \cdot 7 = 14$ параллельных диагонали рядов (из которых 4 «ряда», содержат лишь по одной угловой клетке); нетрудно убедиться, что каждый из этих $4+4+14 = 22$ вертикальных, горизонтальных или наклонных рядов содержит четное число (а именно - либо 0, либо 2) заштрихованных на рис. а, клеток. Но первоначально лишь одна из этих клеток содержала знак «-»; поэтому при всех наших переменах знаков число заштрихованных клеток, помеченных знаком «-», останется нечетным - и, значит, никогда не станет равным 0.
б) Где бы ни был расположенный на доске знак «-», мы всегда можем «вырезать» из нашей доски размером $4 \times 4$ «малую» доску размером $$ так, чтобы на ней расположение знаков было таким, чек в условии задачи а) (см. рис. б, где изображены два возможных варианта расположения знака «-» на большей доске). А так как наши изменения знаков на большой доске порождают на «малой» доске описанные в условии задачи а) перемены знаков, то требуемый результат следует из результата задачи а).
