ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2019-05-06   
В клетках шахматной доски размером $n \times n$ расставлены числа; число, стоящее на пересечении $p$-й строки и $q$-гo столбца, обозначено через $x_{pq}$. Доказать, что если для любых $i, j$ и $k$ (где $1 \leq i, j, k \leq n$) имеет место тождество $x_{ij} + x_{jk} + x_{ki} = 0$, то существуют $n$ таких чисел $t_1, t_2, \cdots, t_n$, что $x_{ij} = t_i - t_j$.


Решение:


Ясно, что при $j=k=i$ связывающее $x_{ij}$, $x_{jk}$ и $x_{ki}$ уравнение принимает вид $3x_{ii} = 0$; таким образом, $x_{ii} = 0$ при всех $i = 1,2, \cdots, n$. Пусть теперь $k=j \neq i$; тогда то же равенство принимает вид;

$x_{ij} + x_{jj} + x_{ji} = 0$,

откуда, в силу того, что $x_{jj} = 0$, имеем $x_{ji} = -x_{ij}$. Наконец, просуммируем все равенства, отвечающие номерам $i,j,1; i, j, 2, \cdots, i, j, n $, где $i$ и $j$ - какие-то фиксированные номера; мы получим:

$nx_{ij} + (x_{j1} + x_{j2} + \cdots + x_{jn}) - (x_{i1} - x_{i2} - \cdots - x_{in}) = 0$

(здесь использовано то, что $x_{ki} = - x_{ik}$). Поэтому, обозначив

$\frac{1}{n} (x_{i1} + x_{i2} + \cdots + x_{in}) = i_i, i = 1,2, \cdots, n$

получим:

$x_{ij} = t_i - t+j$.