Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2890
2019-05-06 
В клетках шахматной доски размером $n \times n$ расставлены некоторые числа так, что при любой расстановке на доске $n$ ладей, никакие две из которых не бьют -друг друга, сумма закрытых этими ладьями чисел будет одной и той же. Обозначим число, стоящее на пересечении $i$-й строки доски и $j$-го ее столбца, через $a_{ij}$. Доказать, что существуют два таких набора чисел $x_1 x_2, \cdots x_n$ и $у_1,y_2, \cdots, y_n$, что $a_{ij} = x_i + y_j$.
Решение:
Заметим, что наше условие равносильно следующему: для любых четырех номеров $i$, $j$, $k$ и $l$, где $i \neq k$ и $i \neq l$, имеет место равенство: $a_{ij} + a_{kl} = a_{ki} + a_{jl}$(другими словами, для любого взятого на доске прямоугольника $ABCD$ (рис. a) сумма чисел, стоящих в двух его противоположных вершинах $А$ и $С$, равна сумме чисел, стоящих в двух других вершинах $В$ и $D$. В самом деле, предположим, что в вершинах $A$ и $С$ находятся две из наших $n$ ладей; разумеется, эти ладьи можно будет переставить в клетки $В$ и $D$ с тем, чтобы они по-прежнему держали под боем $i$-ю и $k$-ю строку и $j$-й и $l$-й столбцы. Таким образом, при указанной перестановке сумма всех покрытых ладьями чисел не может измениться; поэтому-то сумма стоящих в клетках $А$ и $С$ чисел обязательно равна сумме чисел, стоящих в клетках $В$ и $D$.
Далее уже все просто: обозначим числа, стоящие в нижней строке доски, через $y_1, y_2, \cdots, y_n$, а числа, стоящие в ее первом столбце,- через $y_1, y_1+x_2, y_1 + x_3, \cdots, y_1 + x_n$ (рис. б); кроме того, положим $x_1 = 0$. Ясно, что при этом для чисел нижней (1-й) строки и левого (1-го) столбца имеем $a_{ij} = y_i = x_i + y_i$ (ибо $x_1 = 0$); $a_{j1} = x_j + y_1$. С другой стороны, если $i > 1, j > 1$, то стоящее в клетке $М$ число $a_{ij}$ можно вычислить, исходя из выделенного на рис. б прямоугольника $MPOQ$ в силу доказанного ранее имеем
$a_{ij} + y_1 = (x_i + y_1) + y_j$ откуда $a_{ij} = x_i + y_j$.
Нетрудно видеть, что если существуют такие числа $x_1, x_2, \cdots, x_n$; $y_1, y_2. \cdots, y_n$, что $a_{ij} = x_i + y+j$, то в указанное в формулировке задачи условие, связанное с расстановкой на доске ладей (таких «допустимых» расстановок ладей будет $n!$- почему?), обязательно выполняется.
В клетках шахматной доски размером $n \times n$ расставлены некоторые числа так, что при любой расстановке на доске $n$ ладей, никакие две из которых не бьют -друг друга, сумма закрытых этими ладьями чисел будет одной и той же. Обозначим число, стоящее на пересечении $i$-й строки доски и $j$-го ее столбца, через $a_{ij}$. Доказать, что существуют два таких набора чисел $x_1 x_2, \cdots x_n$ и $у_1,y_2, \cdots, y_n$, что $a_{ij} = x_i + y_j$.
Решение:
Заметим, что наше условие равносильно следующему: для любых четырех номеров $i$, $j$, $k$ и $l$, где $i \neq k$ и $i \neq l$, имеет место равенство: $a_{ij} + a_{kl} = a_{ki} + a_{jl}$(другими словами, для любого взятого на доске прямоугольника $ABCD$ (рис. a) сумма чисел, стоящих в двух его противоположных вершинах $А$ и $С$, равна сумме чисел, стоящих в двух других вершинах $В$ и $D$. В самом деле, предположим, что в вершинах $A$ и $С$ находятся две из наших $n$ ладей; разумеется, эти ладьи можно будет переставить в клетки $В$ и $D$ с тем, чтобы они по-прежнему держали под боем $i$-ю и $k$-ю строку и $j$-й и $l$-й столбцы. Таким образом, при указанной перестановке сумма всех покрытых ладьями чисел не может измениться; поэтому-то сумма стоящих в клетках $А$ и $С$ чисел обязательно равна сумме чисел, стоящих в клетках $В$ и $D$.
Далее уже все просто: обозначим числа, стоящие в нижней строке доски, через $y_1, y_2, \cdots, y_n$, а числа, стоящие в ее первом столбце,- через $y_1, y_1+x_2, y_1 + x_3, \cdots, y_1 + x_n$ (рис. б); кроме того, положим $x_1 = 0$. Ясно, что при этом для чисел нижней (1-й) строки и левого (1-го) столбца имеем $a_{ij} = y_i = x_i + y_i$ (ибо $x_1 = 0$); $a_{j1} = x_j + y_1$. С другой стороны, если $i > 1, j > 1$, то стоящее в клетке $М$ число $a_{ij}$ можно вычислить, исходя из выделенного на рис. б прямоугольника $MPOQ$ в силу доказанного ранее имеем
$a_{ij} + y_1 = (x_i + y_1) + y_j$ откуда $a_{ij} = x_i + y_j$.
Нетрудно видеть, что если существуют такие числа $x_1, x_2, \cdots, x_n$; $y_1, y_2. \cdots, y_n$, что $a_{ij} = x_i + y+j$, то в указанное в формулировке задачи условие, связанное с расстановкой на доске ладей (таких «допустимых» расстановок ладей будет $n!$- почему?), обязательно выполняется.
