ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2014-06-07   
Через точку, находящуюся па расстоянии $k < 1$ от центра окружности радиуса 1, проводится пара перпендикулярных хорд. Найти наибольшее и наименьшее значение суммы их длин.


Решение:



Пусть через точку А, находящуюся на расстоянии k от центра О окружности, проведены перпендикулярные хорды KL и MN. Опустим перпендикуляры ОВ и ОС на хорды KL и MN соответственно и обозначим $\angle AOB = \alpha$ (рис.). Тогда
$KL = 2BL = 2 \sqrt{1 – k^{2} \cos^{2} \alpha}$,
$MN = 2MC = 2 \sqrt{1 – k^{2} \sin^{2} \alpha}$
и
$(KL + MN)^{2} = 8 – 4k^{2}(\cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha) + 8 \sqrt{1 – k^{2}(\cos^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha) + k^{4} \cos^{2} \alpha \sin^{2} \alpha} =$
$= 8 – 4k^{2} + 4 \sqrt{4 – 4k^{2} + k^{4} \sin^{2} 2 \alpha}$.
Последнее выражение максимально при $\sin 2 \alpha = 1$, т. е. при $\alpha = 45^{\circ}$, и минимально при $\sin 2 \alpha = 0$, т. е. при $\alpha = 0^{\circ}$ или $\alpha =90^{\circ}$. Поэтому наибольшее значение величины KL + MN равно
$\sqrt{8 – 4k^{2} + 4(2 – k^{2})} = 2 \sqrt{4 - 2k^{2}}$,
а наименьшее - равно
$\sqrt{8 – 4k^{2} + 8 \sqrt{1 – k^{2}}} = 2 \sqrt{1 + \sqrt{1 – k^{2}}}$.