Разделы 
Дополнительно
Задача по математике - 2889
2019-05-06 
64 неотрицательных числа с общей суммой 1956 записаны на 64 клетках шахматной доски; при этом известно, что сумма чисел, выписанных на каждой из двух диагоналей доски, равна 112, и что числа, занимающие клетки, симметричные относительно одной или симметричные относительно другой диагонали, равны между собой. Доказать, что сумма чисел, выписанных в любом ряду (т. е. в любой строке или в любом столбце) доски, меньше 518.
Решение:
Из равенства чисел, выписанных в симметричных относительно диагонали клетках, следует, что среди наших 64 чисел не более 20 различных (см. рис., на котором числами $1,2, \cdots, 20$ обозначены какие-то числа $a_1, a_2, \cdots, a_20$ не обязательно все различные между собой); при этом числа, скажем, $i$-й строки (где $i = 1, 2, \cdots, 8$) совпадают с числами $9 - i$-й строки и $i$-го и $9 - i$-го столбцов. Если найдется такое $i$, то сумма чисел $i$-й строки больше 518, то тоже справедливо и для ($i$-й строки и для $i$-гo и $9 - i$-гo столбцов (см. тот же рис., где принято $i = 3$ и соответствующие строки и столбцы заштрихованы); сложив эти четыре (одинаковые) суммы чисел, мы получим результат, заведомо не меньший $4 \cdot 518 = 2072$. При этом в соответствующей сумме четыре числа, стоящие на клетках, отмеченных на рис. двойной штриховкой, будут учитываться дважды, а числа, стоящие в остальных заштрихованных клетках - один раз; поэтому общая сумма всех выписанных в заштрихованных клетках чисел будет не меньше чем $2072 - \sigma$, где $\sigma$ - сумма чисел, выписанных в дважды заштрихованных клетках. А так как, по условию задачи, $\sigma \leq 112$ (ибо 112 это сумма чисел, выписанных во всех диагональных клетках), то сумма «заштрихованных» чисел не меньше чем $2072 - 112 = 1960$ - в то время как сумма всех вообще выписанных чисел равна 1956. Полученное противоречие и доказывает утверждение задачи.
64 неотрицательных числа с общей суммой 1956 записаны на 64 клетках шахматной доски; при этом известно, что сумма чисел, выписанных на каждой из двух диагоналей доски, равна 112, и что числа, занимающие клетки, симметричные относительно одной или симметричные относительно другой диагонали, равны между собой. Доказать, что сумма чисел, выписанных в любом ряду (т. е. в любой строке или в любом столбце) доски, меньше 518.
Решение:
Из равенства чисел, выписанных в симметричных относительно диагонали клетках, следует, что среди наших 64 чисел не более 20 различных (см. рис., на котором числами $1,2, \cdots, 20$ обозначены какие-то числа $a_1, a_2, \cdots, a_20$ не обязательно все различные между собой); при этом числа, скажем, $i$-й строки (где $i = 1, 2, \cdots, 8$) совпадают с числами $9 - i$-й строки и $i$-го и $9 - i$-го столбцов. Если найдется такое $i$, то сумма чисел $i$-й строки больше 518, то тоже справедливо и для ($i$-й строки и для $i$-гo и $9 - i$-гo столбцов (см. тот же рис., где принято $i = 3$ и соответствующие строки и столбцы заштрихованы); сложив эти четыре (одинаковые) суммы чисел, мы получим результат, заведомо не меньший $4 \cdot 518 = 2072$. При этом в соответствующей сумме четыре числа, стоящие на клетках, отмеченных на рис. двойной штриховкой, будут учитываться дважды, а числа, стоящие в остальных заштрихованных клетках - один раз; поэтому общая сумма всех выписанных в заштрихованных клетках чисел будет не меньше чем $2072 - \sigma$, где $\sigma$ - сумма чисел, выписанных в дважды заштрихованных клетках. А так как, по условию задачи, $\sigma \leq 112$ (ибо 112 это сумма чисел, выписанных во всех диагональных клетках), то сумма «заштрихованных» чисел не меньше чем $2072 - 112 = 1960$ - в то время как сумма всех вообще выписанных чисел равна 1956. Полученное противоречие и доказывает утверждение задачи.
